Mivel ez egy „akkor és csak akkor” típusú állítás, ezért mindkét irányú következtetést igazolni kell.

Ha a\leq b, akkor ez azt jelenti a 12.13. Definíció definíció miatt, hogy létezik n, amelyre a+n=b. Ám ekkor nyilvánvalóan s(a+n)=s(b), és így s(a)+n=s(b) is igaz. Ez viszont szintén a definíció miatt épp azt jelenti, hogy s(a)\leq s(b).

Megfordítva: ha s(a)\leq s(b), akkor létezik n, amelyre s(a)+n=s(b). Ám ekkor nyilvánvalóan s(a+n)=s(b) is igaz, amiből a 2. Peano-axióma miatt (11.1. Definíció) a+n=b következik. Ez viszont épp azt jelenti, hogy a\leq b.