Ha a\leq b, akkor a 12.13. Definíció miatt létezik olyan természetes szám, amelyet a-hoz adva b-t kapunk. Jelöljük ezt a számot k_1-gyel, így tehát azt kapjuk, hogy a+k_1=b.

Hasonló okok miatt ha b\leq c, akkor létezik olyan természetes szám is, amelyet b-hez adva c-t kapunk. Jelöljük ezt a számot k_2-vel, így tehát azt kapjuk, hogy b+k_2=c.

Az első egyenlet baloldalát a második egyenletbe b helyére behelyettesítve azt kapjuk, hogy \underbrace{(a+k_1)}_{=b} + k_2=c. Tekintve, hogy az összeadás asszociatív (11.8. Tétel), ezért ez a kifejezés átzárójelezhető: a+(k_1+k_2)=c.

Létezik tehát olyan természetes szám is, amelyet a-hoz adva c-t kapunk – nevezetesen k_1+k_2. A \leq reláció definíciója miatt ez épp azt jelenti, hogy a\leq c.