Indirekt bizonyítást fogunk alkalmazni, azaz nem közvetlenül a tételt bizonyítjuk, hanem megmutatjuk, miért lehetetlen, hogy nem igaz. Tegyük fel ezért, hogy az \N halmazban léteznek olyan galád a és b számok, amelyek között egyik irányban sem áll fenn a \leq reláció, azaz a\nleq b és b\nleq a.

Ebből az következik, hogy egyikük sem lehet 0, hiszen ha például a=0 lenne, akkor \underbrace{0}_{=a}\leq b teljesülne (ugyanis 0+b=b). Ha meg b=0 lenne, akkor pedig \underbrace{0}_{=b}\leq a teljesülne (ugyanis 0+a=a).

Mármost ha egyikük sem 0, akkor a 3. Peano-axióma (11.1. Definíció) miatt mindkettőhöz létezik egy-egy olyan szám, amelyeknek épp ők a rákövetkezői. Jelöljük ezt a két számot a_1-gyel és b_1-gyel, amelyekre tehát teljesül, hogy s(a_1)=a és s(b_1)=b.

Mármost ha a és b között nem teljesül a \leq reláció egyik irányban sem, akkor a 12.19. Lemma miatt utóbbiak között sem fog – azaz a_1\nleq b_1 és b_1\nleq a_1.

De ekkor ugyanezen gondolatmenet alapján léteznie kell egy a_2 és egy b_2 számnak is, amelyek rákövetkezői épp az a_1 és b_1 számok, és amelyek közül szintén egyik sem 0. És így tovább, ezt a gondolatmenetet a végtelenségig folytathatjuk, mindig találunk újabb és újabb nem 0 számokat, amelyek rákövetkezői épp az előző lépésben megtalált számok. Kapunk tehát két végtelen számsorozatot – amely sorozatokban nem szerepel a 0 –, az alábbi rákövetkezőségi viszonyokkal:

Ez viszont lehetetlen, hiszen a 4. Peano-axióma (11.1. Definíció) kimondja, hogy a 0-ból kiindulva a rákövetkezési függvény mentén az összes természetes számhoz el kell jutnunk előbb-utóbb. Márpedig egy ilyen gyűjtögetésben az ábrán lévő két sorozat tagjai biztosan nem lennének benne.

Ebből viszont az következik, hogy az a\leq b és a b\leq a relációk közül legalább az egyiknek teljesülnie kell tetszőleges a és b esetén, máskülönben ellentmondásba kerülnénk a 4. Peano-axiómával.