Az ekvivalenciareláció definíciója alapján azt kell igazolnunk, hogy a \sim reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

A reflexivitás nyilván teljesül, hiszen tetszőleges (a;b) számpár esetén (a;b)\sim (a;b). Ez ugyanis a 13.2. Tétel miatt épp azt jelenti, hogy a+b=b+a, amely a Peano-összeadás kommutativitása miatt természetesen igaz.

A szimmetria is nyilván teljesül. Tegyük fel ugyanis, hogy tetszőleges (a;b) és (c;d) számpárok esetén (a;b)\sim (c;d). Ez a 13.2. Tétel miatt azt jelenti, hogy a+d=b+c. A kommutativitás miatt természetesen ekkor c+b=d+a is igaz. Ez viszont ismét a tétel miatt épp azt jelenti, hogy (c;d)\sim (a;b).

Végül a tranzitivitás is könnyen adódik. Tegyük fel ugyanis, hogy valamely (a;b), (c;d) és (e;f) számpárokra (a;b)\sim (c;d) valamint (c;d)\sim (e;f) is teljesül. Ebből a 13.2. Tétel alapján az alábbi két egyenletet írhatjuk fel:

\begin{aligned}a+d&=b+c \\ c+f&=d+e \end{aligned}

Adjuk össze a két egyenletet:

a+d+c+f=b+c+d+e

Ám ekkor a 12.16. Lemma miatt az egyenlet mindkét oldalát (c+d)-vel egyszerűsíthetjük:

a+f=b+e

Ez viszont a 13.2. Tétel szerint épp azt jelenti, hogy (a;b)\sim (e;f). A \sim tehát valóban egy ekvivalenciareláció az \N\times \N halmazon.