Tegyük fel indirekt, hogy R minden ideálja végesen generált, ám ennek ellenére az \mathcal{R} halmazrendszernek létezik egy olyan nemüres \mathcal{S} részhalmaza, amelynek nincs maximális eleme. Ez a 19.7. Definíció alapján azt jelenti, hogy bármilyen X ideált választunk is ki \mathcal{S}-ből, biztosan létezni fog egy Y\in \mathcal{S} ideál is, amely X-nél bővebb, azaz amelyre teljesül az X\sub Y szigorú tartalmazási reláció. Eszerint tehát \mathcal{S} elemeiből alkotható egy olyan végtelen, ideálokból álló sorozat, amelyben minden ideál szigorúan tartalmazza a sorozatban előtte lévőt:

I_1\sub I_2\sub I_3\sub \ldots

Képezzük ennek a végtelen sok ideálnak az unióját, és nevezzük az így kapott halmazt U-nak. A 19.17. Lemma alapján ekkor U is ideál az R gyűrűben. Mivel R minden ideálja végesen generált, így U is. Léteznek tehát az R gyűrűben olyan a_1,a_2,\ldots,a_n elemek, amelyek generálják az U ideált, azaz:

U=(a_1,a_2,\ldots,a_n)

Mivel e generátorelemek benne vannak az U unióhalmazban, ezért minden generátorelemnek benne kell lennie az I_1, I_2, I_3,\ldots ideálok közül is legalább az egyikben. Mivel ezen ideálok közül mindegyik szigorúan tartalmazza a sorozatban előtte lévőt, ezért kell lennie közöttük egy olyan I_k ideálnak, amely már minden generátorelemet tartalmaz.

Tehát egyrészt teljesül az U\sube I_k tartalmazási reláció, hiszen a 19.10. Tétel miatt U a legszűkebb olyan ideál, amely az a_1, a_2, \ldots, a_n generátorelemeket tartalmazza. Másrészt a fenti ideálokból álló sorozat következő elemére, azaz I_{k+1}-re ugye teljesül az I_k\sub I_{k+1} szigorú tartalmazási reláció, továbbá az I_{k+1}\sube U tartalmazási reláció is, hiszen I_{k+1} egyike azon ideáloknak, amelyek uniójából állítottuk elő az U ideált. Ezeket összevetve tehát az alábbit kaptuk:

U\sube I_k\sub I_{k+1}\sube U

Mivel a \sube és a \sub relációk tranzitívak (19.6. Tétel), ezért ez azt jelenti, hogy teljesül az U\sub U szigorú tartalmazási reláció. Ez viszont lehetetlen, hiszen ez azt jelentené, hogy létezik olyan x gyűrűelem, amelyre x\in U és x\notin U egyaránt teljesül.

Ha tehát R minden ideálja végesen generált, akkor az ezekből álló \mathcal{R} halmazrendszer bármely nemüres részhalmazának szükségképpen kell legyen maximuma.