Legyen H tetszőleges halmaz, amelyen értelmezve van egy *-gal jelölt asszociatív művelet. Ha x a H halmaz valamely eleme, n pedig tetszőleges pozitív egész, akkor az x^n hatványon az alábbi kifejezést értjük:

x^n=\underbrace{x*x*x*\ldots *x}_{\text{n darab}}

Tegyük fel, hogy a * műveletre nézve létezik neutrális elem (14.7. Definíció), amelyet jelöljünk e-vel. Ekkor az x^0 hatványon az alábbit értjük:

x^0=e

Végül tegyük fel, hogy az x elem invertálható (14.9. Definíció), és jelöljük az ő (kétoldali) inverzét x^{-1}-gyel. Ekkor az x^{-n} hatványon az alábbit értjük:

x^{-n}=\underbrace{x^{-1}*x^{-1}*\ldots *x^{-1}}_{\text{n darab}}=(x^{-1})^n

Azaz x-nek a -n-edik hatványa alatt x inverzének az n-edik hatványát értjük.