Legyen R tetszőleges kommutatív gyűrű (lásd a 14.12. Definíciót). Legyen továbbá f egy végtelen sorozat, amelynek tagjai az R gyűrű elemei:

f=(a_0, a_1, a_2, \ldots)

Amennyiben az f sorozatnak csak véges sok tagja nem az R gyűrű nulleleme, akkor f-et az R gyűrű feletti polinomnak, az a_i gyűrűelemeket az f polinom együtthatóinak, speciálisan az a_0 gyűrűelemet az f polinom konstans tagjának nevezzük. Az R gyűrű feletti polinomok halmazának jele: R[x].

Jelöljük az R gyűrű nullelemét 0_R-rel. Ha valamilyen n\geq 0 nemnegatív egész esetén a_n \neq 0_R, de minden k\gt n esetén a_k=0_R, akkor f-et n-edfokú polinomnak nevezzük, vagy azt mondjuk, hogy f foka n. Ezt így jelöljük: \deg(f)=n. Ilyenkor az a_n gyűrűelemet az f polinom főegyütthatójának nevezzük. A nulladfokú polinomokat konstans polinomoknak nevezzük.

Ha minden k\geq 0 esetén a_k=0_R, akkor f-et nullapolinomnak nevezzük és a 0 szimbólummal jelöljük. A nullapolinomnak nincs foka, azaz ebben az esetben \deg(f) nem értelmezhető.

Az f=(a_0,a_1,\ldots) és g=(b_0,b_1,\ldots) polinomokra azt mondjuk, hogy egyenlőek, ha minden k\geq 0 esetén a_k=b_k, azaz ha az őket reprezentáló két sorozat teljesen megegyezik. Ezt így jelöljük: f=g

Az f=(a_0,a_1,\ldots) és g=(b_0,b_1,\ldots) polinomok összegén azt az f+g=(c_0,c_1,\ldots) polinomot értjük, amelynek tagjait minden k\geq 0 esetén az alábbi képlet állítja elő:

c_k=a_k+b_k

Ugyanezen polinomok szorzatán azt az f\cdot g=(c_0,c_1,\ldots) polinomot értjük, amelynek tagjait minden k\geq 0 esetén az alábbi képlet állítja elő:

c_k=a_0b_k+a_1b_{k-1}+a_2b_{k-2}+\ldots +a_kb_0