Az, hogy G ciklikus, amelynek generátoreleme g, pontosan azt jelenti, hogy G összes eleme kifejezhető ennek az egyetlen g elemnek az egész kitevős hatványaiként (lásd a 24.9. Definíciót). A G csoport e egységeleme és g inverze ugyanis a 24.9. Definíció alapján g-nek rendre a nulladik és a -1-edik hatványaként írható fel, továbbá minden egyéb elem kifejezhető a g valamint a g^{-1} elemek valamilyen sorrendben felírt szorzataként – máskülönben g nem lenne generátorelem. Például:

ggg^{-1}gg^{-1}g^{-1}gg

Egy ilyen szorzatban az egymás mellett álló g és g^{-1} tényezők nyilván elhagyhatók. Vagyis végeredményben vagy magát az egységelemet, vagy egy olyan szorzatot kapunk, amely már csak g vagy csak g^{-1} tényezőket tartalmaz. A 24.9. Definíció alapján a végeredmény tehát első esetben g^0-ként, míg második esetben g^n-ként írható fel valamilyen pozitív vagy negatív n kitevővel.

Ebből az is következik, hogy minden G ciklikus csoport Abel-csoport. Legyenek ugyanis a és b a G csoport tetszőleges elemei. Mivel G ciklikus, ezért a és b felírhatók valamilyen g\in G generátorelem egész kitevős hatványaiként:

\begin{aligned}a&=g^n \\ b&=g^k\end{aligned}

Ám ekkor e két elem szorzata a 24.10. Tétel 3. pontja alapján felcserélhető, hiszen:

a\cdot b=g^n\cdot g^k=g^{n+k}=g^{k+n}=g^k\cdot g^n=b\cdot a