Vegyük észre, hogy a tétel bizonyításához kizárólag néhány, ideál szerinti kongruenciákra vonatkozó korábbi állítást, valamint – a 9. állítás esetében – egy ideálok közötti tartalmazási relációt használtunk fel. Emiatt az összes most bizonyított azonosság automatikusan teljesül erre az általánosabb kongruencia-fogalomra is. Így tehát legyenek a, b, c és d egy tetszőleges R gyűrű elemei, valamint I és J tetszőleges ideálok R-ben. Ekkor teljesülnek az alábbiak:
- Teljesül az a\equiv a\pod I kongruencia, azaz minden gyűrűelem kongruens önmagával az I ideál szerint.
- Ha a\equiv b\pod I, akkor b\equiv a\pod I.
- Ha a\equiv b\pod I és b\equiv c\pod I, akkor a\equiv c\pod I.
- Ha a\equiv b\pod I és c\equiv d\pod I, akkor a+c\equiv b+d\pod I és a-c\equiv b-d\pod I.
- Ha a\equiv b\pod I és c\equiv d\pod I, akkor a\cdot c\equiv b\cdot d\pod I.
- Ha a\equiv b\pod I, akkor a+c\equiv b+c\pod I és a-c\equiv b-c\pod I.
- Ha a\equiv b\pod I, akkor a\cdot c\equiv b\cdot c\pod I.
- Ha a\equiv b\pod I akkor bármilyen pozitív egész n kitevő esetén a^n\equiv b^n\pod I.
- Ha a\equiv b\pod I és I\sube J, akkor a\equiv b\pod J.
A 8. állításban szereplő n-edik hatvány alatt ugyanazt értjük, mint a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel esetén. Azaz ha x az R gyűrű valamely eleme, n pedig tetszőleges pozitív egész, akkor az x^n hatványon az alábbi n tényezős szorzatot értjük:
x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot x\cdot \ldots \cdot x}_{\text{n darab}}