Az euklidészi gyűrű fogalmának bevezetése mögött az a motiváció, hogy az euklidészi algoritmus ne csak a nemnegatív egész számok halmazán működhessen, hanem azt ki lehessen terjeszteni általános integritástartományok lehetőleg minél szélesebb körére is. A „működés” alatt egyrészt azt értjük, hogy az eljárás véges számú lépés után garantáltan befejeződjön. Ezt az euklidészi normának a definícióban szereplő 2. tulajdonsága fogja biztosítani a végtelen leszállás módszerén keresztül.

Másrészt viszont azt is szeretnénk, hogy a keresett kitüntetett közös osztó mindenképpen létezzen. Ehhez az kell, hogy az algoritmus leállása után az utolsó nemnulla r_n maradékból képzett (r_n,0) kitüntetett közös osztó is létezzen, máskülönben semmit nem érnénk azzal, hogy befejeződött az algoritmus. Ez viszont a 17.5. Tétel 4. pontja alapján csak egységelemes gyűrűkben létezik.

Ez az oka annak, hogy az euklidészi gyűrűk definíciójában megköveteljük, hogy létezzen egységelem.