Például ha P a páros számok halmaza, akkor ezt leírhatjuk az alábbi módokon:

• Az elemek felsorolása intuitív módon: A=\{\ldots ;-4;-2;0;2;4;\ldots\}
• Leírás eldöntési szabállyal („olyan x-ek, amelyek oszthatók 2-vel”): A=\{x:2|x\}
• Szöveges leírás: A=\{\text{páros egészek}\}

A definícióval kapcsolatban megjegyezzük az alábbiakat:

1. Az üres halmaz egyértelmű, azaz csak egy üres halmaz létezik. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy két üres halmaz is létezik, amelyek különbözőek. Jelöljük ezeket \empty_1-gyel és \empty_2-vel. Ezek különbözősége a definíció szerint azt jelenti, hogy van olyan a objektum, amely esetén a\notin \empty_1, de a\in \empty_2, vagy pedig a\in \empty_1, de a\notin \empty_2. De ez ellentmond annak a ténynek, hogy a \empty_1 és a \empty_2 halmazoknak nincs egyetlen eleme sem.
2. Hasonló okok miatt az U univerzális halmaz is egyértelmű. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy két univerzális halmaz is létezik, amelyek különbözőek. Jelöljük ezeket U_1-gyel és U_2-vel. Ezek különbözősége a definíció szerint azt jelenti, hogy van olyan a objektum, amely esetén a\notin U_1, de a\in U_2, vagy pedig a\in U_1, de a\notin U_2. De ez ellentmond annak a ténynek, hogy az U_1 és az U_2 halmazoknak minden objektum eleme.
3. A fenti definícióban a „halmaz” és az „eleme lenni” kifejezések az alapfogalmak szerepét töltik be ugyanúgy, mint a 11.1. Definíció szerinti Peano-axiómarendszerben szereplő „nulla” és „rákövetkező” szavak. Ezeket nem definiáljuk, hanem helyette az axiómákban fogalmazzuk meg a velük szemben támasztott követelményeket.
4. A fenti definícióban implicit módon csak egyetlen axióma szerepel, amely azt fogalmazza meg, hogy mikor nevezünk egyenlőnek két halmazt. Ezt meghatározottsági (vagy extenzionalitási) axiómának nevezzük. A naív halmazelméletben nincsenek további axiómák.