Ez alapján tehát ha r és s az R gyűrű két tetszőleges eleme, akkor az r+I és s+I maradékosztályok viszonyaira vonatkozóan két eset lehetséges. Vagy teljesen megegyeznek egymással, azaz pontosan ugyanazok az elemeik, vagy pedig egyáltalán nincs közös elemük. Ha ugyanis teljesül az r\equiv s\pod I kongruencia, akkor az azt jelenti, hogy r és s ugyanabban a maradékosztályban van, következésképp r+I=s+I. Ha viszont a kongruencia nem teljesül, akkor ők külön maradékosztályba kerültek, amelyeknek a tétel alapján nem lehet közös elemük, hiszen ekvivalencia-osztályok (bővebben lásd a 13.5. Tételt).