Legyenek a, b két tetszőleges, valamint m\geq 0 nemnegatív egész szám, és legyen I az m által generált főideál, azaz I=(m). Ekkor teljesülnek az alábbiak:

1. Amennyiben m\gt 0, úgy a 18.20. Definíció szerinti a\equiv b\pod I kongruencia akkor és csak akkor teljesül, ha a és b ugyanazt a nemnegatív maradékot adja m-mel osztva.
2. Amennyiben m=0, úgy az a\equiv b\pod I kongruencia akkor és csak akkor teljesül, ha a=b.
3. Általánosságban az a\equiv b\pod I kongruencia akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll az m|a-b oszthatóság.
4. Speciálisan amennyiben m=1, úgy az a\equiv b\pod I kongruencia mindig teljesül.

Az a és b egész számok közötti, I=(m) főideál szerinti kongruenciát illetve inkongruenciát speciálisan így is jelölhetjük:

\begin{aligned}&a\equiv b\pmod m \\ &a\ \cancel{\equiv}\ b\pmod m \end{aligned}

Ilyenkor azt mondjuk, hogy az a egész szám kongruens a b egész számmal az m modulus szerint, vagy modulo m.