Legyen R egy tetszőleges gyűrű, és tegyük fel, hogy I ideál R-ben. Jelöljük R/I-vel azt a halmazt, amelynek elemei a 18.21. Tételben definiált I ideál szerinti maradékosztályok. Vezessünk be ezek között két műveletet az alábbiak szerint:
- Ha A=a+I és B=b+I két maradékosztály, akkor ezek összege legyen az A\oplus B=(a+b)+I maradékosztály.
- Ha A=a+I és B=b+I két maradékosztály, akkor ezek szorzata legyen az A\odot B=(a\cdot b)+I maradékosztály.
Ekkor az R/I halmaz ezzel a két művelettel gyűrűt alkot, amelyet az R gyűrű I ideál szerinti maradékosztálygyűrűjének vagy faktorgyűrűjének nevezünk.
Ha 0_R jelöli az R gyűrű nullelemét, akkor az R/I gyűrű nulleleme a 0_R+I maradékosztály.
Ha -a jelöli az R gyűrű egy a elemének ellentettjét, akkor az R/I gyűrű a+I elemének ellentettje a (-a)+I maradékosztály.
Ha R egységelemes, és 1_R jelöli az egységelemét, akkor R/I is egységelemes, az egységelem pedig az 1_R+I maradékosztály.
Ha R kommutatív, akkor R/I is az.
Tekintsük továbbá azt az f:R\to R/I függvényt, amely minden R-beli r elemhez az r+I maradékosztályt rendeli hozzá az R/I gyűrűből. Ekkor f egy gyűrűhomomorfizmus R és R/I között, melynek magja I. Ennek a neve természetes gyűrűhomomorfizmus.