Legyen R tetszőleges integritástartomány, \mathcal{R} pedig az R összes főideáljából álló halmazrendszer R fölött. A számelmélet alaptétele akkor és csak akkor teljesül R-ben, ha fennállnak az alábbi feltételek:
- A főideálokból álló \mathcal{R} halmazrendszer bármely nemüres részhalmazában létezik maximális elem a 19.7. Definíció szerinti értelemben.
- Az R integritástartomány minden felbonthatatlan eleme prímtulajdonságú.
