Az első egyenlet baloldala az egész számok összeadásának 13.12. Definíciója miatt így írható:

[(a;b)] \oplus [(c;d)] = [(a+c;b+d)] = \dots

Ebből a Peano-összeadás kommutativitása miatt (11.7. Tétel) következik, hogy az egész számok összeadása is kommutatív:

\dots = [(c+a;d+b)] = [(c;d)] \oplus [(a;b)]

Ehhez hasonlóan a második egyenletben megfogalmazott asszociativitás pedig a Peano-összeadás asszociativitására vezethető vissza:

([(a;b)] \oplus [(c;d)]) \oplus [(e;f)] = [(a+c;b+d)] \oplus [(e;f)] = \dots \dots = [((a+c)+e;(b+d)+f)] = [(a+(c+e);b+(d+f))] = \dots \dots = [(a;b)] \oplus [(c+e;d+f)] = [(a;b)] \oplus ([(c;d)] \oplus [(e;f)])