Jelöljük d-vel az a és b elemek kitüntetett közös osztóját. Mivel R főideálgyűrű, ezért az (a,b) ideál is szükségképpen főideál, azaz generálható egyetlen elemmel is. Létezik tehát olyan e gyűrűelem, hogy (a,b)=(e). Ekkor azonban a 20.10. Tétel 2. pontja alapján e is kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek.

Mármost a kitüntetett közös osztó a 17.6. Tétel szerint asszociáltság erejéig egyértelmű, azaz teljesül az e\sim d asszociáció. Ez viszont az asszociáltság 16.6. Definíciója alapján azt jelenti, hogy e-nek és d-nek pontosan ugyanazok a többszöröseik, vagyis az általuk generált főideálok megegyeznek, azaz (e)=(d). Teljesül tehát az alábbi halmazegyenlőség:

Ebből viszont a 20.10. Tétel 2. pontja miatt következik, hogy d valóban kifejezhető u\cdot a+v\cdot b alakban az R integritástartomány alkalmas u és v elemeinek segítségével.