A 25.20. Tétel alapján a \Z^+ illetve a (\Z/m\Z)^+ csoportok ciklikusak. Ezért ha G izomorf valamelyikükkel, akkor a 25.21. Lemma alapján G is ciklikus, hiszen a csoportizomorfizmus a 25.1. Definíció alapján egy szürjektív homomorfizmus.

Megfordítva: Tegyük fel, hogy G ciklikus, és legyen g egy generátorelem. Ekkor G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként.

1. eset – g rendje (lásd a 24.11. Definíciót) végtelen: Tekintsük azt az f:\Z^+\to G függvényt, amely minden n egész számhoz hozzárendeli a g^n elemet. Mivel a 24.12. Tétel alapján g bármely két hatványa különbözik, ezért ez a függvény injektív lesz, hiszen különböző egész számok képe különböző G-beli elem lesz. Továbbá, mivel G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként, ezért f egyben szürjektív is. Így már csak a művelettartó tulajdonságot kell igazolni. Ez viszont az egész kitevős hatványozás azonosságaiból (24.10. Tétel 3. pontja) következik:

f(n+k)=g^{n+k}=g^n\cdot g^k=f(n)\cdot f(k)

Azaz G ebben az esetben izomorf a \Z^+ csoporttal.

2. eset – g rendje véges: Legyen g rendje m, és tekintsük azt az f:(\Z/m\Z)^+\to G függvényt, amely minden [n]_m maradékosztályhoz hozzárendeli a g^n elemet. Tekintsünk két tetszőleges maradékosztályt, legyenek ezek például [n]_m és [k]_m, és tegyük fel, hogy teljesülnek az alábbiak:

f([n]_m)=f([k]_m)

Az f függvény definíciója alapján ez az egyenlet így írható fel:

g^n=g^k

Ám mivel g rendje véges, ezért a 24.12. Tétel 1. pontja alapján ekkor teljesül az alábbi kongruencia:

n\equiv k\pmod m

Ez viszont azt jelenti, hogy n és k ugyanazt a modulo m maradékosztályt reprezentálják, azaz:

[n]_m=[k]_m

Vagyis különböző maradékosztályok képei nem lehetnek azonosak, így az f függvény injektív. Továbbá, mivel G minden eleme felírható g egész kitevős hatványaként, és bármely egész szám reprezentál valamilyen modulo m maradékosztályt, ezért f egyben szürjektív is. Így már csak a művelettartó tulajdonságot kell igazolni. Ez viszont ismét az egész kitevős hatványozás azonosságaiból (24.10. Tétel 3. pontja), továbbá a maradékosztályok közötti összeadás műveletének definíciójából (20.5. Tétel) következik:

f([n]_m+[k]_m)=f([n+k]_m)=g^{n+k}=g^n\cdot g^k=f([n]_m)\cdot f([k]_m)

Azaz G ebben az esetben izomorf a (\Z/m\Z)^+ csoporttal.