Tekintsük azt az f csoporthomomorfizmust, amelynek képe T. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen X csoport elemein van értelmezve, amelynek egységelemét jelöljük most e_X-szel, míg a H csoport egységelemét jelöljük e_H-val. Azt kell megmutatnunk, hogy T-re teljesülnek a 24.5. Tételben felsorolt feltételek.

A 25.2. Lemma 1. pontja alapján f(e_X)=e_H, így tehát a H csoport egységeleme valóban benne van T-ben.

Ha valamilyen a és b elemek benne vannak T-ben, akkor léteznek olyan x_a és x_b elemek X-ben, amelyeknek épp ő a képük, azaz f(x_a)=a és f(x_b)=b. A két egyenletet összeszorozva H-ban, valamint kihasználva f művelettartó tulajdonságait az alábbit kapjuk:

f(x_a)\cdot f(x_b)=f(x_a\cdot x_b)=a\cdot b

Létezik tehát olyan elem X-ben, amelynek a\cdot b a képe (nevezetesen x_a\cdot x_b), emiatt az a\cdot b szorzat is benne van T-ben, ami így valóban zárt a H csoport szorzására nézve.

Végül ha valamilyen a elem benne van T-ben, akkor létezik olyan x_a elem X-ben, amelynek épp a a képe, azaz f(x_a)=a. A 25.2. Lemma 2. pontja alapján azonban f tartja az inverzképzést is, így teljesül az alábbi:

f(x_a^{-1})=(f(x_a))^{-1}=a^{-1}

Létezik tehát olyan elem X-ben, amelynek a^{-1} a képe (nevezetesen x_a^{-1}), emiatt a^{-1} is benne van T-ben, ami így zárt az inverzképzésre nézve is. Minthogy a 24.5. Tételben felsorolt minden feltétel teljesül, ezért T valóban részcsoport H-ban.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy T részcsoport H-ban. Azt kell megmutatnunk, hogy van olyan H-ba mutató csoporthomomorfizmus, amelynek képe T. Tekintsük például azt az f:T\to H függvényt, amely T minden eleméhez önmagát rendeli hozzá. Ez kétségkívül nem egy izgalmas függvény, viszont nyilvánvalóan csoporthomomorfizmus, aminek a képe ráadásul épp a T halmaz.