Nincs más dolgunk, mint sorra leellenőrizni a 14.12. Definícióban felsorolt gyűrűaxiómák teljesülését.

1. A \oplus művelet a 13.14. Tétel alapján kommutatív és asszociatív.
2. A \oplus művelet 13.12. Definíciója alapján a [(0;0)] egész szám neutrális elem erre a műveletre nézve, hiszen tetszőleges a és b természetes számok esetén [(a;b)] \oplus [(0;0)] = [(a+0;b+0)] = [(a;b)].
3. Ugyanezen definíció alapján tetszőleges a és b természetes számok esetén [(a;b)] \oplus [(b;a)] = [(a+b;b+a)] = [(0;0)]. Más szavakkal a \oplus művelet invertálható a teljes \Z halmazon.
4. A \odot művelet a 14.6. Tétel értelmében asszociatív.
5. Ugyanezen tétel miatt teljesülnek a disztributivitási szabályok is.

A (\Z , \oplus , \odot ) algebrai struktúra tehát valóban gyűrű.

Ezen felül a 14.6. Tétel az asszociativitás mellett kimondja a \odot művelet kommutativitását is.

Igaz továbbá, hogy a \odot műveletre nézve az [(1;0)] egész szám neutrális elem, ugyanis tetszőleges a és b természetes számok esetén [(a;b)] \odot [(1;0)] = [(a\cdot 1 + b\cdot 0;a\cdot 0 + b\cdot 1)] = [(a;b)].

A (\Z , \oplus , \odot ) algebrai struktúra tehát valóban egy kommutatív, egységelemes gyűrű, ahogyan a tétel állítja.