Az 1. állítás: Minthogy I egy ideál az egész számok \Z gyűrűjében, ezért a 18.24. Következmény miatt ő biztosan magja egy valamilyen \Z-ből kiinduló f gyűrűhomomorfizmusnak. Ugyanezen tétel, valamint a 18.12. Definíció utáni megjegyzés miatt azonban a 18.20. Definícióban definiált I ideál szerinti kongruencia és a 18.9. Definícióban definiált f gyűrűhomorfizmus szerinti kongruencia két egymással teljesen ekvivalens reláció. Ez azt jelenti, hogy az alábbi két kongruencia egyszerre teljesül, vagy nem teljesül:

\begin{aligned}a&\equiv b\pod I\\a&\equiv b\pod f\end{aligned}

Azaz nincs más dolgunk, mint találni egy olyan f gyűrűhomomorfizmust, amelynek a magja éppen az I ideál. Vegyük észre, hogy mivel most m\neq 0, ezért a 18.3. Definícióban definiált \bmod_m-mel jelölt modulo m maradékképző függvény értelmezhető, és épp megfelel erre a célra. Ez a függvény ugyanis a 18.7. Tétel szerint egy szürjektív gyűrűhomomorfizmus az egész számok \Z és a modulo m maradékok \Z_m gyűrűje között. Ennek magja ráadásul épp az I=(m) főideál, hiszen ez pontosan az m egész szám többszöröseit tartalmazza, márpedig ezekhez – és csak ezekhez – a \bmod_m maradékképző függvény a 0 maradékot rendeli hozzá.

Eszerint tehát az a\equiv b\pod I ideál szerinti kongruencia pontosan akkor teljesül, amikor teljesül az a\equiv b\pod{\bmod_m} gyűrűhomomorfizmus szerinti kongruencia. Ez utóbbi viszont pontosan akkor teljesül, ha a \bmod_m maradékképző függvény a-hoz és b-hez ugyanazt a maradékot rendeli hozzá.

A 2. állítás: Amennyiben m=0, akkor nem értelmezett a \bmod_m maradékképző függvény, így ebben az esetben az ideál szerinti kongruencia 18.20. Definíciójából kell kiindulnunk. Eszerint az a\equiv b\pod I kongruencia pontosan akkor teljesül, ha az a-b különbség benne van az I ideálban. Ez az ideál azonban nem más, mint az m=0 által generált főideál. Minthogy a 16.2. Tétel 4. pontja alapján a 0-nak önmagán kívül nincs más többszöröse, ezért a (0) főideál mindössze a 0 egész számból fog állni. Eszerint tehát az a\equiv b\pod I pontosan akkor teljesül, ha a-b=0, vagy másként fogalmazva a=b.

A 3. állítás az 1. és a 2. állítások általánosítása. Az I=(m) főideál pontosan az m egész szám többszöröseit tartalmazza. Emiatt az a-b különbség pontosan akkor van benne ebben az ideálban – azaz teljesül az a\equiv b\pod I kongruencia –, ha fennáll az m|a-b oszthatóság.

Végül a 4. állítás a 3. állítás speciális esete. Ebben az esetben I=(1), de mivel az 1 egész szám a \Z gyűrű egységeleme, ezért a 16.3. Definíció utáni megjegyzés miatt egyúttal egység is. Minthogy egy egységnek minden gyűrűelem többszöröse, ezért az I=(1) főideál valójában a teljes \Z gyűrű lesz. Azaz ebben az esetben valóban mindig teljesül az a\equiv b\pod I kongruencia.