A 20.1. Tétel alapján az egész számok közötti modulo m kongruencia teljesen ekvivalens az (m) főideál szerinti kongruenciával, ezért minden olyan tétel vonatkozik rá, amelyet az ideálok szerinti kongruenciákkal kapcsolatban már bizonyítottunk.

Így például az 1., 2. és 3. állítás arról szól, hogy az egész számok közötti kongruencia egy reflexív, szimmetrikus és tranzitív reláció, azaz ekvivalenciareláció. Ezt az ideál szerinti kongruenciákra a 18.21. Tételben már igazoltuk.

A 4. és 5. állítás a 18.22. Tételből következik, aminek a segítségével az ideál szerinti maradékosztályok közötti műveletek jóldefiniáltságát igazoltuk (e műveletek definícióját lásd a maradékosztálygyűrűkről szóló 18.23. Tételben). Minthogy a különbségképzés tulajdonképpen ellentettel való összeadás, ezért a kivonásra vonatkozó állítás is teljesül.

A 6. és 7. állítások szintén teljesülnek, hiszen ezek a 4. és 5. állítások azon speciális esetei, amikoris c=d. A 8. állítás az 5. állítás azon speciális esetének n-szeri alkalmazásából adódik, amikoris a=c és b=d.

Végül a 9. állítás: Az I=(m) főideál szerinti kongruencia a 18.20. Definíció alapján azt jelenti, hogy az a-b különbség eleme az I=(m) főideálnak. Mármost ha k osztója m-nek – azaz teljesül a k|m oszthatóság –, akkor a 19.12. Tétel 1. pontja alapján teljesül az (m)\sube (k) tartalmazási reláció, és így az a-b különbség a (k) főideálnak is eleme. Ez ismételten a 18.20. Definíció alapján azt jelenti, hogy a és b a (k) főideál szerint is kongruens egymással. Mivel k-ról azt mondtuk, hogy nemnegatív, ezért a 20.1. Tételben szereplő jelölést alkalmazva a\equiv b\pmod k.