A 13.10. Definícióban az egész számok halmazát 3 részre osztottuk: pozitív egész számok, negatív egész számok és a 0 egész szám. A pozitív egész számok halmazát jelöljük a továbbiakban P-vel, a negatív egész számok halmazát pedig -P-vel. A P halmaz nem tartalmazza a gyűrű nullelemét, azaz a 0 egész számot, valamint a 13.13. Tétel és a 14.5. Tétel miatt zárt a (\Z ,+,\cdot ) gyűrű összeadására és szorzására. Mivel a gyűrű nullosztómentes, ezért a 15.14. Tétel alapján annyi már bizonyos, hogy a P halmaz valóban egy részbenrendezés pozitivitástartománya.

A 14.13. Tétel bizonyítása alapján a P-ben lévő egész számok ellentettjei épp a -P-ben lévő egész számok. Így a 15.12. Definíció utáni megjegyzés miatt a P-hez tartozó rendezés negativitástartománya épp a -P halmaz, aminek tehát nincs közös eleme P-vel. Mivel a P és a -P halmazok ketten együtt tartalmazzák a 0 egész számon kívüli összes egész számot, így a 15.15. Tétel alapján a P halmazhoz tartozó rendezés valójában egy teljes rendezés.

Már csak azt kell belátni, hogy ez az egyetlen, a rendezési axiómákat is kielégítő teljes rendezés. Tegyük fel ezért indirekt, hogy egy másik ilyen teljes rendezés is létezik az egész számok gyűrűjén. Jelöljük az ehhez tartozó pozitivitástartományt Q-val, a negativitástartományt pedig -Q-val. Mivel rendezésről van szó, ezért a Q és a -Q halmazoknak szintén nincs közös elemük, továbbá – mivel ez a hipotetikus rendezés teljes – ketten együtt tartalmazzák a 0 egész számon kivüli összes egész számot. A 15.13. Tétel alapján az indirekt feltevésünk pontosan azt jelenti, hogy a P és Q pozitivitástartományok különbözőek.

Vegyük észre azonban, hogy a 15.16. Tétel alapján mindazon egész számok, amelyek felírhatók egy akármilyen egész szám önmagával vett szorzataként, vagy ilyen szorzatok akárhánytagú összegeként, benne vannak mind a P, mind pedig a Q halmazban. Ez viszont igaz minden P-beli egész számra. Az első néhány példa alapján az Olvasó is könnyen megértheti, miért:

\begin{aligned}1&=1\cdot 1 \\ 2&=1\cdot 1 + 1\cdot 1 \\ 3&=1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 \\ &\ldots \end{aligned}

Az tehát már bizonyos, hogy P része Q-nak. Ebből viszont következik, hogy -P is része -Q-nak. Hiszen ha egy tetszőleges a nemnulla egész szám benne van -P-ben, akkor az ellentettje benne van P-ben. Azonban P része Q-nak, így tehát ez az ellentett benne van Q-ban is. Ekkor viszont maga a benne van -Q-ban. A szituáció tehát valójában a következő:

Az indirekt feltételezésünk ugye az volt, hogy a P és a Q halmazok különböznek. Azaz létezik olyan x nemnulla egész szám, amely benne van Q-ban, de nincs benne P-ben. Egyrészt, mivel Q-nak és -Q-nak nincs közös eleme, ezért ha x benne van Q-ban, akkor nincs benne -Q-ban. Másrészt, mivel P és -P ketten együtt tartalmazzák az összes nemnulla egész számot, ezért ha x nincs benne P-ben, akkor benne van -P-ben. Mivel azonban -P része -Q-nak, ezért ha x benne van -P-ben, akkor benne van -Q-ban is.

Az indirekt feltételezésünkből tehát az következik, hogy létezik olyan egész szám, amely benne is van -Q-ban, és nincs is benne. Ez teljes képtelenség, így csak az a feltételezésünk lehet hibás, miszerint P és Q különböznek, azaz valójában P és Q megegyeznek. Ekkor viszont a 15.13. Tétel miatt a hozzájuk tartozó teljes rendezések is megegyeznek. Az egész számok gyűrűje tehát valóban csak egyféleképpen rendezhető teljesen.