Legyen R egy tetszőleges euklidészi gyűrű, I pedig egy tetszőleges ideál R-ben. Azt kell megmutatnunk, hogy létezik olyan r\in R elem, amely generálja I-t, azaz amelyre I=(r) teljesül. Jelöljük az R euklidészi gyűrű nullelmét 0_R-rel. Ha I csak a nullelemből áll, akkor I=(0) nyilván teljesül. Feltehetjük tehát, hogy I nem csak a nullelemből áll.

Mivel R euklidészi gyűrű, ezért ennek elemein értelmezhető egy f:R\to\N euklidészi norma, amely eleget tesz a 17.16. Definícióban szereplő feltételeknek. Az f euklidészi norma tehát az I ideál minden nemnulla eleméhez hozzárendel valamilyen pozitív egész számot. A 17.14. Tétel alapján ennek a számhalmaznak mindenképpen van minimuma függetlenül attól, hogy I végtelen sok elemet tartalmaz-e vagy sem. Legyen b az I ideál egy olyan nemnulla eleme, amelyhez az f euklidészi norma épp ezt a minimumot rendeli hozzá. Azt kell megmutatni, hogy b generálja az I ideált, azaz I=(b).

Az egyrészt nyilvánvaló, hogy mivel b\in I, ezért b-nek bármilyen többszöröse is I-ben van. Ez az ideál definíciójából következik (18.18. Definíció). Másrészt azt kell még igazolnunk, hogy I-nek ezeken kívül nincs is más eleme. Tegyük fel tehát, hogy a\in I, és mutassuk meg, hogy a szükségképpen többszöröse b-nek. Mivel b\neq 0_R, és R euklidészi gyűrű, ezért a és b között a 17.16. Definíció 2. pontja alapján elvégezhető a maradékos osztás. Azaz létezik olyan k hányados és r maradék, amelyekre teljesülnek az alábbi feltételek:

\begin{aligned}a&=k\cdot b+r \\ f(r)&\lt f(b)\end{aligned}

Az egyenletből az r maradékot kifejezve ezt kapjuk:

r=a-k\cdot b

Mivel I ideál és b\in I, ezért a 18.18. Definíció alapján kb\in I is teljesül. Másrészt tudjuk, hogy a\in I, és így a 18.15. Tétel 1. és 4. pontja alapján az r=a-kb maradék szintén benne van I-ben.

Vegyük észre, hogy a maradékos osztás f(r)\lt f(b) feltétele miatt az r egy olyan eleme az I ideálnak, amelynek euklidészi normája szigorúan kisebb b euklidészi normájánál. Márpedig azt mondtuk, hogy I-ben nincs olyan elem, amelynek euklidészi normája a b euklidészi normájánál kisebb, de még mindig pozitív. Ezért kizárólag f(r)=0 lehetséges, ami a 17.16. Definíció 1. pontja alapján azt jelenti, hogy r=0_R.

Az a és b közötti maradékos osztást elvégezve tehát a maradék csak a nullelem lehet, azaz valójában teljesül a b|a oszthatóság. Az a elem tehát többszöröse b-nek, és így a\in (b) teljesül. Más szavakkal a b elem tényleg generálja az I ideált, azaz I=(b). Minthogy ez a gondolatmenet tetszőleges ideállal végigjátszható, ezért R valóban főideálgyűrű, ahogyan a tétel állítja.