A 17.17. Tétel alapján egy euklidészi gyűrűben bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója. Így a 17.12. Tétel miatt minden felbonthatatlan elem prím. Ebből viszont a 16.17. Tétel szerint következik a számelémélet alaptételének egyértelműségi állítása. Ha tehát valamely elemnek egyáltalán létezik felbontása, akkor az – sorrendtől és asszociáltságtól eltekintve – egyértelmű.

Így már csak azt kell megmutatni, hogy bármely nemnulla és nem egység elemnek ténylegesen létezik felbontása. Tegyük fel, hogy g:R\to \N egy olyan euklidészi norma, amely eleget tesz a 17.20. Tételben szereplő egyenlőtlenségi tulajdonságnak is. Ilyen euklidészi norma ugyanezen tétel miatt garantáltan létezik. A bizonyításhoz a g norma értékkészletén, azaz a természetes számok \N halmazán fogunk teljes indukciót alkalmazni.

Ennek során minden n természetes számra megmutatjuk, hogy az összes olyan nemnulla és nem egység gyűrűelemnek létezik prímtényezős felbontása, amelynek a g norma szerinti „távolsága” a nullelemtől legfeljebb n. Az alábbi ábrán a gyűrű elemeinek azon A_0, A_1, A_2, … részhalmazai láthatók, amelyek az első néhány természetes számhoz tartoznak ebben az értelemben. Az elemeket pontokkal jelöltük, valamint ábrázoltuk a g norma által hozzájuk rendelt értékeket is:

Először is indukciós feltételként feltesszük, hogy valamilyen n-re már igaz az állítás, azaz bármely n-nél nemnagyobb normájú nemnulla és nem egység gyűrűelemnek létezik prímtényezős felbontása. Ezt az elemhalmazt a fenti ábrán A_n-nel jelöltük. Azt kell megmutatnunk, hogy ekkor az A_{n+1} halmaz elemeire is teljesülni fog az állítás. Tegyük fel, hogy a egy tetszőleges A_{n+1}-beli elem. Feltételezhetjük, hogy nincs benne A_n-ben, hiszen máskülönben az indukciós feltétel miatt róla már amúgyis tudnánk, hogy létezik prímtényezős felbontása. Így tehát g(a)=n+1.

Ha a felbonthatatlan elem (16.11. Definíció), akkor az ő prímtényezős felbontása alatt a 16.15. Definíció alapján önmagát, mint „egytényezős szorzatot” értjük, így az nyilván létezik. Feltételezhetjük tehát, hogy a nem felbonthatatlan, azaz felírható a=bc alakban úgy, hogy b és c közül egyik sem egység. Ekkor azonban a g normára a 17.21. Tétel miatt fennállnak az alábbi szigorú egyenlőtlenségek, hiszen a nem egységszerese sem b-nek, sem pedig c-nek:

\begin{aligned}g(b)&\lt g(a) \\ g(c)&\lt g(a)\end{aligned}

Ez viszont g(a)=n+1 miatt azt jelenti, hogy g(b)\leq n és g(c)\leq n. Az indukciós feltételünk alapján azonban emiatt b-nek és c-nek létezik prímtényezős felbontása, hiszen mindketten benne vannak az A_n halmazban. Így ha az a=bc szorzatba b és c helyére beírjuk e két felbontást, akkor épp a-nak a felbontását kapjuk.

Eddig tehát azt bizonyítottuk, hogy HA valamilyen n-re az A_n halmaz minden elemének létezik felbontása, AKKOR ez igaz lesz az őt tartalmazó A_{n+1} halmaz elemeire is. Már csak el kell indítani az indukciós „dominósor” ledöntését valahol, azaz kell találni valamilyen n-et, amelyre valóban teljesül a tétel állítása.

Ez ebben az esetben egyszerű lesz, hiszen az n=0 épp megfelelő erre a célra, habár az érvelés némileg szokatlan lesz. Az n=0 esethez az A_0 halmaz fog tartozni, amely tehát azokat a nemnulla és nem egység gyűrűelemeket tartalmazza, amelyeknek a g szerinti normája legfeljebb 0. Minthogy a norma értéke csak természetes (azaz nemnegatív) szám lehet, ezért ez azt jelenti, hogy az A_0 minden elemének pontosan 0 a normája. Igenám, de a norma a 17.16. Definíció miatt csak a nullelem esetében lehet 0, és mivel azt mondtuk, hogy A_0 nem tartalmazza a nullelemet, ezért ő csak az üres halmaz lehet (az a halmaz, amelynek nincs egyetlen eleme sem).

Viszont az üres halmaz elemeire tett bármilyen univerzális állítás igaz, így az is, hogy e nem létező elemek mindegyikének létezik prímtényezős felbontása. Ezt a furcsaságot a bizonyítás utáni megjegyzésben egy picit részletesebben is kifejtjük, most azonban térjünk vissza a befejezéshez.

Azt kaptuk tehát, hogy az A_0 halmazra – furcsamód ugyan, de – igaz lesz a tétel állítása. Ekkor azonban a fentebb bizonyított indukció miatt igaz lesz A_1-re is, majd emiatt A_2-re is, és így tovább, egészen a végtelenségig. Minthogy a g norma összes lehetséges értékét lefedtük, ezért biztosan nem hagytunk ki egyetlen nemnulla és nem egység gyűrűelemet sem a buliból. Mindegyikre igaz tehát a prímtényezős felbontás létezése, és így a számelmélet alaptétele.