Nézzük először az 1. állítást! A \varphi(p^k) a 20.17. Következmény alapján a 0, 1, 2, …, p^k-1 közül a p^k-hoz relatív prím egészek számát adja meg. Nincs más dolgunk tehát, mint ezeket megszámlálni. A 21.4. Lemma alapján egy tetszőleges a egész szám akkor és csak akkor relatív prím p^k-hoz, ha nem osztható p-vel, azaz NEM teljesül a p|a oszthatóság.

Ahhoz tehát, hogy megkapjuk \varphi(p^k) értékét, meg kell számolnunk, hogy összesen hány p-vel osztható egész szám van az első p^k darab pozitív egész szám között. A fentiek alapján ugyanis épp az ezeken kívüli számok lesznek relatív prímek p^k-hoz. A p-vel osztható számok az alábbiak lesznek:

\begin{aligned}1&\cdot p \\ 2&\cdot p \\ 3&\cdot p \\ &\vdots \\ p^{k-1}&\cdot p\end{aligned}

Ezek száma összesen p^{k-1}. Ezt levonva p^k-ból valóban \varphi(p^k) értékét kapjuk, ahogyan a tétel állítja:

\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}

Végül nézzük a 2. állítást! Ebben az esetben tehát a 0, 1, 2, … p-1 közül a p-hez relatív prím egészek számát kéne meghatározni. Vegyük észre, hogy ezek közül egyedül a 0 nem relatív prím p-hez. Egyrészt ugyanis a 17.5. Tétel 4. pontja alapján (p,0)=p\neq 1, azaz a 0 valóban nem relatív prím p-hez. Másrészt viszont minden egyéb a esetén szükségképpen (a,p)=1, máskülönben p-nek lenne az 1-en és önmagán kívül más pozitív osztója, és így nem lehetne prím. A 0, 1, 2, …, p-1 számok között tehát valóban p-1 darab olyan szám van, amely p-hez relatív prím.