Azt kell megmutatni, hogy a 19.14. Tétel szerinti mindkét feltétel teljesül. Mivel egy R főideálgyűrű minden ideálja generálható egyetlen elemmel, ezért alkalmazható a 19.18. Tétel. Eszerint a főideálok bármely nemüres részhalmazának van maximuma, így teljesül az 1. feltétel.

Legyen a és b az R főideálgyűrű két tetszőleges eleme, és képezzük belőlük az (a,b) ideált, ami ugye a 19.10. Tétel alapján létezik. Minthogy R főideálgyűrű, ezért az (a,b) ideál generálható egyetlen elemmel is. Legyen ez az elem d, azaz (a,b)=(d). A 19.19. Tétel alapján d kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek. Ugyanilyen gondolatmenettel bármely két elemre megmutatható, hogy létezik a kitüntetett közös osztójuk, és így a 17.12. Tétel alapján minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú. Azaz teljesül a 2. feltétel is, tehát R-ben valóban érvényes a számelmélet alaptétele.