Ennek a tételnek a bizonyítása nagyon fog hasonlítani a 19.12. Tétel bizonyításához. Arra azonban figyelnünk kell, hogy az egységelem hiánya miatt ezúttal nem teljesül az a|a oszthatóság, mivel a nullosztómentesség miatt ez ellentmondana a 16.2. Tétel 2. pontjának.
Az 1. állítás: Egyrészt azt kell bizonyítani, hogy ha teljesül az a|b oszthatóság, akkor bármilyen c\in (b) esetén c\in (a) is teljesül, azaz fennáll a (b)\sube (a) tartalmazási reláció. A c\in (b) ugye azt jelenti, hogy c vagy megegyezik b-vel – és ekkor nyilván teljesül az a|\underbrace{c}_{=b} oszthatóság –, vagy pedig annak többszöröse – és ekkor pedig a b|c oszthatóság teljesül. De mivel azt mondtuk, hogy teljesül az a|b oszthatóság, ezért ez utóbbi esetben az oszthatóság tranzitivitása miatt (16.2. Tétel 5. pont) ugyancsak teljesül az a|c oszthatóság. Mindkét eset azt jelenti, hogy c egyike az a elem többszöröseinek is, azaz c\in (a). Mivel megmutattuk, hogy a (b) főideál bármely eleme egyúttal eleme az (a) főideálnak is, így a 19.2. Definíció alapján valóban (b)\sube (a).
Másrészt azt kell még megmutatni, hogy NEM egységelemes gyűrű esetén ez valójában egy szigorú tartalmazási reláció. Mutatnunk kell tehát egy olyan elemet, amely benne van az (a) főideálban, viszont nincs benne a (b) főideálban. Vegyük észre, hogy az a elem pont ilyen, hiszen egyrészt ő nyilvánvalóan benne van a saját maga által generált (a) főideálban. Másrészt viszont a (b) főideálban nem lehet benne, máskülönben vagy a b=a egyenlőség, vagy pedig a b|a oszthatóság teljesülne. De mivel azt mondtuk, hogy teljesül az a|b oszthatóság, ezért b=a esetén nyilvánvalóan, míg b|a esetén pedig az oszthatóság tranzitivitása miatt (16.2. Tétel 5. pont) teljesülne az a|a oszthatóság is, ami ugye ellentmondás.
Visszafelé: Tegyük most fel, hogy teljesül a (b)\sub (a) szigorú tartalmazási reláció. A (b)\sub (a) tartalmazás többek között azt jelenti, hogy a (b) főideál bármely eleme egyúttal eleme az (a) főideálnak is. Ez természetesen magára b-re is igaz, azaz b\in (a). Így tehát b vagy a-nak többszöröse (azaz teljesül az a|b oszthatóság), vagy pedig megegyezik vele. De ez utóbbi lehetetlen, hiszen ebben az esetben az (a) és (b) főideálok megegyeznének, és így a közöttük lévő tartalmazási reláció nem lehetne szigorú. Így tehát valóban csak a|b lehet a helyzet.
A 2. állítás: Az (a)=(b) azt jelenti, hogy a két főideálnak pontosan ugyanazok az elemeik. Mivel a nyilván benne van a saját maga által generált főideálban, ezért ő a (b) főideálnak is eleme. Ugyanezen okok miatt b is eleme az (a) főideálnak. Így tehát ők vagy megegyeznek egymással, vagy pedig egymás osztói, azaz a|b és b|a is teljesül. Ez utóbbi esetben azonban az oszthatóság tranzitivitása miatt teljesülne az a|a oszthatóság is, ami ugye nem egységelemes gyűrűk esetén lehetetlen. Így tehát (a)=(b)-ből valóban csak a=b következhet. Visszafelé: ha a=b, akkor az általuk generált főideálok nyilvánvalóan megegyeznek.