A 19.8. Tétel alapján egy halmazrendszerben legfeljebb egy legszűkebb elem létezhet. Így elegendő megmutatni, hogy létezik legszűkebb elem, az ugyanis garantáltan az egyetlen legszűkebb elem lesz.

Mivel X a G csoport tetszőleges részhalmaza lehet, ezért előszöris kérdés, hogy létezik-e egyáltalán olyan részcsoport, amely tartalmazza X-et? Erre természetesen igen a válasz, hiszen „legrosszabb esetben” maga a teljes G egy ilyen részcsoport. Az \mathcal{X} halmazrendszer tehát biztosan nem üres.

Most képezzük az \mathcal{X} halmazrendszer összes elemének metszetét, és jelöljük ezt a halmazt H-val. Minthogy \mathcal{X} elemei részcsoportok G-ben, így a 25.17. Tétel alapján H is részcsoport G-ben. Továbbá az X-ről azt mondtuk, hogy ő részhalmaza minden \mathcal{X}-beli részcsoportnak, emiatt részhalmaza ezek metszetének, azaz H-nak is.

Ez viszont azt jelenti, hogy H maga is az \mathcal{X} halmazrendszer eleme, hiszen ő is egy X-et tartalmazó részcsoport G-ben. Ráadásul mivel ő a metszete \mathcal{X} összes elemének, ezért egyben részhalmaza is azoknak. Másként fogalmazva bármilyen K\in \mathcal{X} részcsoportra teljesül, hogy H\sube K. Ez a 19.7. Definíció szerint viszont épp azt jelenti, hogy H nem más, mint az \mathcal{X} halmazrendszer legszűkebb eleme. Más szavakkal H a legszűkebb olyan részcsoport G-ben, amely tartalmazza az X részhalmazt, azaz a tételbeli jelölést használva H=\lang X\rang.

A legszűkebb X-et tartalmazó normálosztó létezésére és egyértelműségére vonatkozó állítás a fentiekhez teljesen hasonló módon igazolható.