Az 1. állítás: Legyen tehát d kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek. Azt kell bizonyítani, hogy ekkor fennáll az (a,b)\sube (d) tartalmazási reláció, azaz az (a,b) ideál bármely eleme egyúttal a (d) főideálnak is eleme.

Legyen tehát x az (a,b) ideál egy tetszőleges eleme. Mivel az R integritástartomány egységelemes, ezért a 20.9. Tétel értelmében x kifejezhető az a és b generátorelemek segítségével az alábbi alakban:

x=u\cdot a + v\cdot b

Mármost, mivel fennállnak a d|a és d|b oszthatóságok – hiszen d közös osztója a-nak és b-nek –, ezért a 16.2. Tétel 7. pontja miatt fennállnak a d|ua és d|vb oszthatóságok is. Ám ekkor ugyanezen tétel 6. pontja miatt fennáll az alábbi oszthatóság is:

d|\underbrace{u\cdot a +v\cdot b}_{=x}

Azaz x többszöröse d-nek, ami azt jelenti, hogy benne van a (d) főideálban, tehát valóban teljesül az (a,b)\sube (d) tartalmazási reláció.

A 2. állítás: Azt már a 19.19. Tételben igazoltuk, hogy az (a,b)=(d) halmazegyenlőség esetén d kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek. Így most csak annyit kell megmutatni, hogy felírható d=u\cdot a+v\cdot b alakban. Mivel nyilván d\in (d), ezért az (a,b)=(d) halmazegyenlőség miatt d\in (a,b). Ám ekkor d a 20.9. Tétel alapján valóban felírható a kívánt alakban.

Visszafelé: Legyen most d kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek, és tegyük fel, hogy d felírható d=u\cdot a+v\cdot b alakban. Azt kell megmutatni, hogy ebben az esetben teljesül az (a,b)=(d) halmazegyenlőség. Mivel d kitüntetett közös osztó, ezért az 1. állítás miatt fennáll az (a,b)\sube (d) tartalmazási reláció, így már csak a másik irányú tartalmazás – azaz (d)\sube (a,b) – fennállását kell bizonyítani.

Legyen x a (d) főideál tetszőleges eleme. Ez azt jelenti, hogy teljesül a d|x oszthatóság, azaz létezik olyan k gyűrűelem, hogy x=k\cdot d. De mivel d-ről tudjuk, hogy felírható d=ua+vb alakban, ezért ugyanez igaz lesz x-re:

x=k\cdot (\underbrace{ua+vb}_{=d})=(ku)\cdot a+(kv)\cdot b

Így x a 20.9. Tétel alapján benne van az (a,b) ideálban, tehát valóban teljesül a (d)\sube (a,b) tartalmazási reláció is. Minthogy (d) és (a,b) között mindkét irányban fennáll a tartalmazási reláció, ezért a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja miatt a két halmaz megegyezik.