Először a kongruenciarendszer megoldhatóságát igazoljuk. Az első kongruencia a 20.12. Tétel alapján pontosan akkor oldható meg, ha az (1,p) kitüntetett közös osztónak többszöröse a jobboldalon álló a egész szám. Ehhez hasonlóan a második kongruencia pontosan akkor oldható meg, ha (1,q)-nak többszöröse a b egész szám. A tételben szereplő kongruenciarendszer tehát pontosan akkor oldható meg, ha mindkét alábbi oszthatóság teljesül:

\begin{aligned}(1,p)&|a \\ (1,q)&|b\end{aligned}

Az oszthatóságok baloldalain álló kitüntetett közös osztók a 17.5. Tétel 4. pontja miatt 1-gyel egyeznek meg. Minthogy az 1 egész szám egység (16.3. Definíció), így ezek az oszthatóságok nyilván teljesülnek, a tételben szereplő kongruenciarendszer tehát valóban megoldható.

Másodszor azt mutatjuk meg, hogy minden megoldás ugyanabból a modulo pq maradékosztályból származik. Legyen ezért x_1 és x_2 két tetszőleges egész, amelyek mindkét kongruenciát kielégítik. Azaz egyrészt:

\begin{aligned}x_1&\equiv a\pmod p \\ x_1&\equiv b\pmod q\end{aligned}

Másrészt:

\begin{aligned}x_2&\equiv a\pmod p \\ x_2&\equiv b\pmod q\end{aligned}

Ez a 20.2. Tétel 3. pontja alapján azt jelenti, hogy az x_1 és x_2 egész számok kongruensek egymással mindkét modulus szerint, azaz:

\begin{aligned}x_1&\equiv x_2\pmod p \\ x_1&\equiv x_2\pmod q\end{aligned}

Ez a 20.1. Tétel 3. pontja alapján azt jelenti, hogy az x_1-x_2 különbség többszöröse p-nek is és q-nak is, azaz:

\begin{aligned}p&|x_1-x_2 \\ q&|x_1-x_2\end{aligned}

Azaz x_1-x_2 prímtényezős felbontásában szerepel p és q összes prímtényezője, valamint esetlegesen egyéb prímtényezők is. Tegyük fel, hogy p és q prímtényezős felbontásai a következők:

\begin{aligned}p&=p_1p_2\ldots p_k \\ q&=q_1q_2\ldots q_n\end{aligned}

Mivel p és q egymáshoz relatív prímek, ezért nincs két egyforma prímtényezőjük. Azaz p egyetlen prímtényezője sem szerepel q prímtényezői között, valamint q egyetlen prímtényezője sem szerepel p prímtényezői között. Így tehát az x_1-x_2 különbség így írható fel:

x_1-x_2=\underbrace{p_1p_2\ldots p_k}_{=p}\cdot \underbrace{q_1q_2\ldots q_n}_{=q}\cdot \underbrace{r_1r_2\ldots r_l}_{\text{egyéb}}

Azt kaptuk tehát, hogy teljesül az alábbi oszthatóság:

pq|x_1-x_2

Ez ismét a 20.1. Tétel 3. pontja alapján az alábbi kongruenciát jelenti:

x_1\equiv x_2\pmod{pq}

Tehát valóban igaz, hogy bármely két, a tételben szereplő kongruenciarendszert kielégítő egész szám ugyanabba a modulo pq maradékosztályba esik.

Végül azt kell igazolni, hogy ennek a bizonyos maradékosztálynak minden eleme kielégíti a kongruenciarendszert. Tegyük fel ezért, hogy s egy olyan egész szám ebben a maradékosztályban, amelyre teljesül a kongruenciarendszer, azaz:

\begin{aligned}s&\equiv a\pmod p \\ s&\equiv b\pmod q\end{aligned}

Tegyük fel ezenkívül indirekt, hogy létezik olyan t egész szám ugyanebben a maradékosztályban, amelyre viszont nem teljesül legalább az egyik a tételben szereplő kongruenciák közül. Mivel t ugyanabban a modulo pq maradékosztályban van, mint s, ezért igaz az alábbi:

s\equiv t\pmod{pq}

Minthogy a p|pq valamint a q|pq oszthatóságok nyilvánvalóan teljesülnek, ezért a 20.2. Tétel 9. pontja miatt teljesülnek az alábbi kongruenciák is:

\begin{aligned}s&\equiv t\pmod p \\ s&\equiv t\pmod q\end{aligned}

Azaz t egyrészt ugyanabba a modulo p maradékosztályba esik, mint s, vagyis a 20.8. Definíció utáni megjegyzés alapján ő megoldása az x\equiv a\pmod p kongruenciának. Másrészt ehhez hasonlóan t ugyanabba a modulo q maradékosztályba is esik, mint s, ezért ő megoldása az x\equiv b\pmod q kongruenciának is. Így tehát t mégiscsak megoldása a tételben szereplő kongruenciarendszernek, ami ellentmond az indirekt feltételezésünknek. Az [s]_{pq} maradékosztálynak tehát valóban minden eleme megoldás, ahogyan a tétel állítja.