Ha c=0, akkor nyilván igaz az állítás, hiszen a 17.5. Tétel 1. pontja miatt egyrészt (a\cdot 0,b\cdot 0)=(0,0)=0, másrészt a 15.1. Tétel 1. pontja miatt (a,b)\cdot 0 = 0.

Ha a=b=0, akkor hasonló okok miatt szintén nyilvánvalóan teljesül a tétel, hiszen egyrészt (0\cdot c,0\cdot c)=(0,0)=0, másrészt (0,0)\cdot c=0\cdot c=0.

Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük tehát, hogy c\neq 0, valamint a és b közül legalább az egyik nem 0, és így egyrészt a 16.2. Tétel 4. pontja miatt (a,b)\neq 0, másrészt a 17.5. Tétel 3. pontja miatt R-ben létezik egységelem.

Mivel (a,b) közös osztó, ezért teljesülnek az alábbi oszthatóságok:

\begin{aligned}(a,b)&|a \\ (a,b)&|b\end{aligned}

Ekkor azonban a 17.8. Tétel miatt teljesülnek az alábbi oszthatóságok is:

\begin{aligned}(a,b)c&|ac \\ (a,b)c&|bc\end{aligned}

Ez viszont azt jelenti, hogy (a,b)c közös osztója ac-nek és bc-nek. Mivel feltételeztük, hogy bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója, ezért nyilván létezik az (ac,bc) kitüntetett közös osztó is. Ez viszont – kitüntetett lévén – többszöröse bármely más közös osztónak, így (a,b)c-nek is. Azt tehát már tudjuk a tételben szereplő két kifejezésről, hogy teljesül közöttük az alábbi oszthatóság:

(a,b)c|(ac,bc)

Ez viszont az oszthatóság 16.1. Definíciója alapján épp azt jelenti, hogy létezik olyan k elem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

(a,b)c \cdot k = (ac,bc)

Azt fogjuk megmutatni, hogy k egység, mivel ebből a 16.10. Tétel miatt már következik az (a,b)c\sim (ac,bc) asszociáció. Vizsgáljuk hát meg a fenti egyenletet.

Ennek jobboldala ac és bc közös osztója, így az egyenlet baloldala is. Fennállnak tehát az alábbi oszthatóságok:

\begin{aligned}(a,b)c\cdot k &|ac \\ (a,b)c\cdot k &|bc\end{aligned}

Mivel a bizonyítás elején az általánosság megsértése nélkül feltehettük, hogy c\neq 0, így mindkét oszthatóságot egyszerűsíteni lehet vele a 17.8. Tétel miatt. Ekkor ezt kapjuk:

\begin{aligned}(a,b)k &|a \\ (a,b)k &|b\end{aligned}

Azt kaptuk tehát, hogy (a,b)k közös osztója a-nak és b-nek, és így osztója az ő kitüntetett közös osztójuknak. Azaz:

(a,b)k|(a,b)

Mivel a bizonyítás elején láttuk, hogy létezik egységelem, valamint (a,b)\neq 0, így mindkét oszthatóságot egyszerűsíteni lehet (a,b)-vel a 17.8. Tétel miatt. Ekkor ezt kapjuk:

k|1

A k elem tehát osztója az egységelemnek, emiatt a 16.5. Tétel értelmében valóban egység, és így (a,b)c\cdot k=(ac,bc)-ből következik az (a,b)c\sim (ac,bc) asszociáció, ahogyan a tétel állítja.