Tegyük fel, hogy p felbonthatatlan elem R-ben. Azt kell megmutatni, hogy prímtulajdonságú, azaz hogy ha valamilyen a és b elemek esetén teljesül a p|ab oszthatóság, de p\nmid a, akkor szükségképpen teljesül a p|b oszthatóság.

Tegyük hát fel, hogy p\nmid a. Mivel azt mondtuk, hogy bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója R-ben, ezért nyilván p-nek is és a-nak is létezik a (p,a) kitüntetett közös osztója.

Mivel (p,a) közös osztó, ezért nyilván teljesül a (p,a)|p oszthatóság. De mivel p felbonthatatlan, ezért a 16.11. Definíció miatt az alábbi két eset lehetséges:

\begin{aligned}(p,a)&\sim p \\ (p,a)&\sim 1\end{aligned}

Azaz (p,a) vagy egység, vagy pedig p valamely asszociáltja. Ez utóbbi azonban lehetetlen, hiszen – lévén, hogy (p,a) közös osztó – teljesül a (p,a)|a oszthatóság, és így (p,a)\sim p miatt teljesülne a p|a oszthatóság is, ami ellentmond a feltételezésünknek, miszerint p\nmid a.

Azt kaptuk tehát, hogy (p,a) csak egység lehet, azaz p és a relatív prímek. Ebből viszont a p|ab oszthatóság és az euklidészi lemma (17.11. Tétel) miatt következik, hogy p|b. Azaz p valóban prímtulajdonságú, ahogy a tétel állítja.