Az 1. tulajdonság: A nullelem osztója önmagának, így közös osztó. Ugyanakkor neki minden elem osztója, így az összes többi potenciális közös osztó is, ezért ő kitüntetett is. Rajta kívül viszont más kitüntetett közös osztó nem létezhet, hiszen akkor annak a nullelem többszörösének kéne lennie, ami a 16.2. Tétel 4. pontja miatt lehetetlen. Tehát valóban (0,0)=0.

A 2. tulajdonság: Az a és b közös osztóinak halmaza nem változik, ha a pozíciójukat felcseréljük az (a,b) kifejezésben, így a kitüntetett közös osztó sem.

A 3. tulajdonság: A 17.4. Definíció 2. pontja alapján az (a,b) kitüntetett közös osztó önmagának is osztója, és ha a illetve b közül legalább az egyik nem 0, akkor a 16.2. Tétel 4. pontja miatt (a,b) sem lehet 0. Ám ekkor ugyanezen tétel 2. pontja alapján R egységelemes.

Végül a 4. tulajdonság: Ha (a,b) létezik, akkor az a\neq 0 feltétel miatt a 3. tulajdonság alapján R egységelemes. Megfordítva: Ha R egységelemes, akkor a 16.2. Tétel 1. pontja alapján teljesül az a|a oszthatóság. Az a|b feltétel miatt tehát a valóban közös osztó. Ezenkívül nyilván kitüntetett is, hiszen bármilyen elem csak akkor lehet közös osztó, ha osztója a-nak. Az (a,b) kitüntetett közös osztó tehát valóban létezik, és a-val egyezik meg.