Az a=b=0 esetet egyből ki is zárhatjuk, hiszen a 17.1. Definíció utáni megjegyzés miatt ekkor nem létezne legnagyobb közös osztó. Minthogy létezik (hiszen d az), ezért biztos, hogy a és b közül legalább az egyik nem 0. Ebből viszont következik, hogy a feltételezett e kitüntetett közös osztó biztosan nem 0 (hiszen a 16.2. Tétel 4. pontja miatt a 0 csak saját magának osztója). Így tehát e a rendezési reláció trichotómiája miatt vagy pozitív, vagy pedig negatív.

Legyen f=e, ha e pozitív, és f=-e ha e negatív. Ekkor egyrészt a 15.9. Lemma 1. pontja miatt f biztosan pozitív, másrészt pedig e-nek asszociáltja (vagy azért, mert megegyezik vele, vagy pedig a 16.8. Tétel 1. pontja miatt). Ebből viszont a 17.6. Tétel miatt következik, hogy f is kitüntetett közös osztó.

Mivel f közös osztó, és d a legnagyobb közös osztó, ezért egyrészt teljesül az f\leq d reláció. Másrészt mivel d szintén közös osztó, és f kitüntetett, ezért teljesül a d|f oszthatóság is. Ekkor azonban 0\lt f miatt alkalmazható a 17.2. Lemma, ami alapján teljesül a d\leq f reláció is.

Minthogy f\leq d és d\leq f egyszerre teljesül, ezért a \leq reláció antiszimmetriája (lásd a 12.9. Definíciót) miatt d=f. Azaz d valóban asszociáltja a tételben szereplő e kitüntetett közös osztónak, és így a 17.6. Tétel értelmében ő maga is kitüntetett közös osztó.