Mivel a-b és b-a egymás ellentettjei, ezért a c|a-b oszthatóság miatt a 16.2. Tétel 8. pontja alapján az alábbi oszthatóságok mind teljesülnek:

\begin{aligned}c&|a-b \\ c&|b-a \\ (-c)&|a-b \\ (-c)&|b-a\end{aligned}

A fenti négy oszthatóság között biztosan van olyan, amelynek mindkét oldalán nemnegatív számok szerepelnek. Ezért az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy a c|a-b oszthatóság ilyen. Ha mégsem ez lenne a helyzet, akkor választunk egy olyat, amire ez teljesül, és az alábbi gondolatmenetet arra alkalmazzuk.

Tehát feltehetjük, hogy 0\leq a-b. Itt két eset lehetséges: vagy 0=a-b, vagy pedig a 0\lt a-b szigorú egyenlőtlenség teljesül. Ha az utóbbi, akkor a c|a-b oszthatóságra alkalmazható a 17.2. Lemma, miszerint bármely pozitív egész szám legalább akkora, mint az osztói. Azaz c\leq a-b. De ez ellentmondás, hiszen a és b szigorúan kisebbek c abszolútértékénél. De mivel c-ről feltettük, hogy nemnegatív, ezért az abszolútérték-függvény 17.18. Definíciója miatt a és b szigorúan kisebbek magánál c-nél is. Így – lévén hogy mindketten nemnegatívak – a különbségük méginkább szigorúan kisebb c-nél.

A fentiekből az következik, hogy a c|a-b oszthatóság csak a 0=a-b esetben teljesülhet. Ebből viszont a=b következik, ahogyan a tétel állítja.