Az f(K) halmaz a 25.11. Definíció alapján nyilván részhalmaza H-nak, ezért csak a 24.5. Tétel feltételeinek teljesülését kell ellenőrizni f(K)-ra.

1. feltétel: f(K) zárt a H csoport műveletére nézve

Legyenek a és b az f(K) halmaz két tetszőleges eleme. A 25.11. Definíció alapján minden f(K)-beli elemhez létezik olyan elem K-ban, amelynek épp ő az f szerinti képe. Így a-hoz és b-hez is léteznek olyan x_a\in K és x_b\in K elemek, amelyekre teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}f(x_a)&=a \\ f(x_b)&=b\end{aligned}

Ám ekkor – mivel K részcsoport G-ben – a 24.5. Tétel 1. pontja alapján az x_ax_b szorzat is benne van K-ban. Ez viszont ugyancsak a 25.11. Definíció alapján azt jelenti, hogy e szorzat f szerinti képe viszont benne van f(K)-ban, azaz:

f(x_ax_b)\in f(K)

Mivel azonban f csoporthomomorfizmus, ezért igaz az alábbi:

f(x_ax_b)=f(x_a)\cdot f(x_b)=a\cdot b\in f(K)

Tehát az a és b elemek szorzata is f(K)-ban van, ami így valóban zárt a H csoport műveletére nézve.

2. feltétel: f(K) tartalmazza a H csoport egységelemét

Mivel K részcsoport G-ben, ezért a 24.5. Tétel 2. pontja alapján tartalmazza G egységelemét, amelyet most jelöljünk e_G-vel. A 25.2. Lemma 1. pontja szerint az e_G egységelem f szerinti képe a H csoport egységeleme, amelyet most jelöljünk e_H-val. De mivel e_H egy K-beli elem – nevezetesen e_G – képe, ezért a 25.11. Definíció szerint szükségképpen benne van f(K)-ban.

3. feltétel: f(K) zárt a H-beli inverzképzésre

Legyen a az f(K) halmaz tetszőleges eleme. A 25.11. Definíció alapján minden f(K)-beli elemhez létezik olyan elem K-ban, amelynek épp ő az f szerinti képe. Így a-hoz is létezik olyan x_a\in K elem, amelyre teljesül az alábbi:

f(x_a)=a

Ám ekkor – mivel K részcsoport G-ben – a 24.5. Tétel 3. pontja alapján az x_a^{-1} inverz is benne van K-ban. Ez viszont ugyancsak a 25.11. Definíció alapján azt jelenti, hogy ennek f szerinti képe viszont benne van f(K)-ban, azaz:

f(x_a^{-1})\in f(K)

Mivel azonban f csoporthomomorfizmus, ezért a 25.2. Lemma 2. pontja igaz az alábbi:

f(x_a^{-1})=(f(x_a))^{-1}=a^{-1}\in f(K)

Tehát az a elem H-beli inverze is f(K)-ban van, ami így valóban zárt a H-beli inverzképzésre nézve.