Tegyük fel tehát, hogy L-nek létezik teljes inverz képe G-ben – hiszen a tétel úgyis csak ezekről az esetekről nyilatkozik –, és vezessük be a K=f^{-1}(L) jelölést. A K halmaz a 25.11. Definíció alapján nyilván részhalmaza G-nek. Ezért csak a 24.5. Tétel feltételeinek teljesülését kell ellenőrizni K-ra, továbbá igazolni a \ker f\sube K tartalmazást.

1. feltétel: K zárt a G csoport műveletére nézve

Legyenek a és b a K halmaz két tetszőleges eleme. Mivel K=f^{-1}(L), ezért a 25.11. Definíció utáni megjegyzés alapján f(K)=L, és így ugyanezen definíció alapján f(a) és f(b) is benne van L-ben. Ekkor azonban a 24.5. Tétel 1. pontja miatt az ő f(a)\cdot f(b) szorzatuk is L-ben van, hiszen a tétel szövege alapján L részcsoport H-ban, azaz zárt a H-beli műveletre nézve. Ez a szorzat azonban f művelettartó tulajdonsága alapján átírható az alábbi módon:

f(a)\cdot f(b)=f(ab)\in L

Vagyis az ab szorzat f szerinti képe L-ben van. Mivel azonban K=f^{-1}(L), ezért ez a 25.11. Definíció szerint azt is jelenti, hogy az ab szorzat csak K-ban lehet. A K halmaz tehát valóban zárt a G-beli műveletre nézve.

2. feltétel: K tartalmazza a G csoport egységelemét

Mivel L részcsoport H-ban, ezért a 24.5. Tétel 2. pontja miatt tartalmazza annak egységelemét, amelyet most jelöljünk e_H-val. A 25.2. Lemma 1. pontja alapján azonban tudjuk, hogy a G csoport egységelemének – amelyet most jelöljünk e_G-vel – f szerinti képe e_H, azaz f(e_G)=e_H. Mivel azonban K az L halmaz f szerinti teljes inverz képe, ezért a 25.11. Definíció miatt e_G csak K-ban lehet. Így tehát K valóban tartalmazza a G csoport egységelemét.

3. feltétel: K zárt a G-beli inverzképzésre

Legyen a tetszőleges K-beli elem. Ekkor az 1. feltétel bizonyításánál már látott f(K)=L miatt f(a) benne van L-ben. Mivel azonban L részcsoport H-ban, így a 24.5. Tétel 3. pontja miatt az (f(a))^{-1} inverz is benne van L-ben. A 25.2. Lemma 2. pontja alapján azonban tudjuk, hogy f tartja a G-beli inverzképzést, így teljesül az alábbi:

(f(a))^{-1}=f(a^{-1})\in L

Vagyis az a^{-1} inverz f szerinti képe L-ben van. Mivel azonban K=f^{-1}(L), ezért ez a 25.11. Definíció szerint azt is jelenti, hogy maga az a^{-1} inverz csak K-ban lehet. A K halmaz tehát valóban zárt a G-beli inverzképzésre nézve.

Végül a \ker f\sube K tartalmazást igazoljuk.

Legyen a tetszőleges elem f magjában, azaz a\in \ker f. Azt kell megmutatni, hogy ekkor a\in K is teljesül. Mivel a benne van f magjában, így az ő f szerinti képe a H csoport egységeleme, amelyet jelöljünk továbbra is e_H-val. Azaz:

f(a)=e_H

Az e_H-ról azonban tudjuk, hogy benne van L-ben, hiszen L ugye részcsoport H-ban. Mivel azonban e_H az a elem f szerinti képe, ezért f^{-1}(L)=K miatt a 25.11. Definíció alapján maga a szükségképpen benne van K-ban.