Tegyük fel, hogy S részgyűrű R-ben. Ekkor a műveleti zártság – azaz az 1. és 2. tulajdonság – nyilvánvalóan teljesül, máskülönben S nem lenne gyűrű az R-beli műveletekre nézve, és így részgyűrű sem lehetne R-ben.

Mivel S-nek létezik nulleleme – hiszen maga is gyűrű –, ezért a 3. tulajdonsághoz azt kell megmutatni, hogy ez a nullelem megegyezik R nullelemével. Jelöljük S nullelemét 0_S-sel, R nullelemét pedig 0_R-rel, és tegyük fel indirekt, hogy ez a kettő nem ugyanaz. Ha a kettő nem ugyanaz, akkor az sem mindegy, hogy melyik gyűrűben beszélünk ellentettképzésről. Jelölje most (-0_S) a 0_S elem R-beli ellentettjét. Őket összeadva tehát az R gyűrű nullelemét kell kapjuk, azaz:

0_S+(-0_S)=0_R

Mivel 0_S az S gyűrű nulleleme, ezért nyilvánvalóan igaz az alábbi:

0_S+0_S=0_S

Végül, mivel 0_R az R gyűrű nulleleme, ezért az alábbi is teljesül:

0_S+0_R=0_S

Mivel S gyűrű, így az összeadás asszociativitása miatt:

(0_S+0_S)+(-0_S)=0_S+(0_S+(-0_S))

A baloldalt kifejtve ezt kapjuk:

\underbrace{(0_S+0_S)}_{=0_S}+(-0_S)=0_S+(-0_S)=0_R

A jobboldalt kifejtve pedig ezt:

0_S+\underbrace{(0_S+(-0_S))}_{=0_R}=0_S+0_R=0_S

Ez a kettő eredmény viszont a fentebb már említett asszociativitás miatt indirekt feltételezésünkkel ellentétben mégis meg kell egyezzen, így valóban 0_R=0_S.

Végül az ellentettképzésre való zártság – azaz a 4. tulajdonság – igazolásához képezzük az S gyűrű valamely a elemének ellentettjét mindkét gyűrűben, és megmutatjuk, hogy ezek valójában megegyeznek. Az S-beli ellentettet jelöljük x_S-sel, míg az R-beli ellentettet x_R-rel. Az a elemet az R-beli ellentettjével összeadva az R gyűrű nullelemét kell kapnunk, azaz:

a+x_R=0_R

Ugyanakkor az a elemet az S-beli ellentettjével összeadva az S gyűrű nullelemét kell kapnunk, amiről azonban már láttuk, hogy megegyezik az R gyűrű nullelemével. Azaz:

a+x_S=0_S=0_R

Minthogy az R-beli ellentettképzés a 14.10. Tétel alapján egyértelmű, ezért szükségképpen x_S=x_R. Azaz az S gyűrű valóban zárt az R-beli ellentettképzésre.

Visszafelé: Most azt kell megmutatnunk, hogy amennyiben teljesül mind a 4 tulajdonság, úgy S részgyűrű R-ben. Az R gyűrű műveletei az 1. és 2. tulajdonságok alapján nem vezetnek ki S-ből, így azok algebrai értelemben műveletek ezen a szűkebb halmazon is (lásd a 11.3. Definíciót). Továbbá a 3. és 4. tulajdonság miatt létezik nullelem, és minden elemnek létezik ellentettje is S-ben. Így a 14.12. Definíció szerinti gyűrűaxiómákból már csak a két művelet asszociativitását, valamint a disztributivitási szabályokat kell igazolnunk. Ezeket azonban S megörökli az R-től a műveletekkel együtt. Így tehát S valóban részgyűrű R-ben.