Mivel ez egy „akkor és csak akkor” típusú állítás, ezért mindkét irányú implikációt bizonyítani kell. Nézzük először az egyik irányt. Ha (a;b)\sim (c;d), akkor e reláció 13.1. Definíciójának két követelménye közül legalább az egyik teljesül. Nézzük, hogy mi van akkor, ha az első követelmény teljesül. Ebben az esetben létezik olyan n természetes szám, amelyre teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}a+n&=c\\b+n&=d\end{aligned}

Ekkor megtehetjük, hogy a felső egyenlet mindkét oldalához b-t, az alsó egyenlet mindkét oldalához pedig a-t adunk hozzá. Így ezt kapjuk:

\begin{aligned}a+n+b&=c+b\\b+n+a&=d+a\end{aligned}

Tekintve, hogy a két egyenlet baloldalain álló kifejezések a Peano-összeadás kommutativitása (11.7. Tétel) és asszociativitása (11.8. Tétel) miatt megegyeznek, ezért az egyenletek jobboldalain szereplő kifejezések is megegyeznek, azaz c+b=d+a. Ez viszont szintén az összeadás kommutativitása miatt épp a tételben szereplő kritérium teljesülésének bizonyítéka.

Ha a reláció 13.1. Definíciójának nem teljesül az első követelménye, akkor a második követelmény teljesül (hiszen legalább az egyiknek teljesülnie kell). Ezzel viszont ugyanez a gondolatmenet végigjátszható. Azt kaptuk tehát, hogy ha (a;b)\sim (c;d), akkor a+d=b+c szükségképpen teljesül.

Most nézzük meg, hogy vajon az állítás megfordítása is teljesül-e. Most azt tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül, hogy a+d=b+c, és az a kérdés, hogy ekkor a 13.1. Definícióban teljesül-e legalább az egyik kritérium az (a;b) és (c;d) számpárokra.

Az előző részben bevezetett \leq reláció (12.13. Definíció) trichotómiája (12.20. Tétel) miatt tudjuk, hogy a\leq c és a \geq c közül legalább az egyik teljesül. Ugyanezen okok miatt b\leq d és b\geq d közül is teljesül legalább az egyik. Emiatt az alábbi 4 eset közül legalább az egyiknek teljesülnie kell a és c valamint b és d kisebb-nagyobb viszonyaival kapcsolatban:

1. a\leq c és b\leq d
2. a\leq c és b\geq d
3. a\geq c és b\leq d
4. a\geq c és b\geq d

Vizsgáljuk meg sorban mind a 4 esetet.

Első eset: a\leq c és b\leq d

Ez ugye a \leq reláció 12.13. Definíciója miatt azt jelenti, hogy léteznek n_1 és n_2 természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}a+n_1&=c\\b+n_2&=d\end{aligned}

Azt kell belátnunk, hogy valójában n_1=n_2, hiszen ekkor épp a \sim reláció 13.1. Definíciójának 1. pontját kapnánk. Azt ugye tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül az a+d=b+c összefüggés, amelybe c és d helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

a+\underbrace{b+n_2}_{=d}=b+\underbrace{a+n_1}_{=c}

Ezt az egyenletet viszont a 12.16. Lemma miatt egyszerűsíthetjük (a+b)-vel, így valóban n_1=n_2.

Második eset: a\leq c és b\geq d

Ez ugye épp azt jelenti, hogy léteznek olyan n és k természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}a+n&=c\\d+k&=b\end{aligned}

Azt kell belátnunk, hogy ekkor valójában n=0 és k=0, hiszen ebből a=c és b=d következne, azaz az (a;b) és (c;d) számpárok valójában megegyeznének, így nyilván teljesülne közöttük a \sim reláció. Azt ugye tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül az a+d=b+c összefüggés, amelybe c és b helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

a+d=\underbrace{d+k}_{=b}+\underbrace{a+n}_{=c}

Ezt az egyenletet most (a+d)-vel egyszerűsíthetjük ismételten a 12.16. Lemma miatt, azaz azt kapjuk, hogy 0=k+n. Ebből viszont a 12.17. Lemma miatt az következik, hogy valóban k=0 és n=0.

Harmadik eset: a\geq c és b\leq d

Ez ugye épp azt jelenti, hogy léteznek k és n természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}c+k&=a\\b+n&=d\end{aligned}

Hasonlóan az előző esethez, azt ugye tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül az a+d=b+c összefüggés, amelybe a és d helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

\underbrace{c+k}_{=a}+\underbrace{b+n}_{=d}=b+c

Ezt az egyenletet (b+c)-vel egyszerűsíthetjük, azaz k+n=0. Ebből viszont ismételten a 12.17. Lemma miatt az következik, hogy valóban k=0 és n=0.

Végül a negyedik eset: a\geq c és b\geq d

Ekkor az első esethez hasonlóan léteznek k_1 és k_2 természetes számok, amelyekre teljesül, hogy

\begin{aligned}c+k_1&=a\\d+k_2&=b\end{aligned}

Azt kell belátnunk, hogy valójában k_1=k_2, hiszen ekkor épp a \sim reláció 13.1. Definíciójának 2. pontját kapnánk. Azt ugye tudjuk, hogy az (a;b) és (c;d) számpárokra teljesül az a+d=b+c összefüggés, amelybe a és b helyére a fenti két egyenlet baloldalát behelyettesítve a következőt kapjuk:

\underbrace{c+k_1}_{=a}+d=\underbrace{d+k_2}_{=b}+c

Ezt az egyenletet viszont egyszerűsíthetjük (c+d)-vel, így valóban k_1=k_2.

Mind a 4 esetben bizonyítottuk, hogy a 13.1. Definícióban szereplő követelmények közül legalább az egyik teljesül az (a;b) és a (c;d) számpárokra, amennyiben a+d=b+c.