A 14.12. Definíció-ban szereplő gyűrűaxiómák a 24.1. Definícióban ismertetett félcsoport és csoport fogalmának segítségével átfogalmazhatók. Eszerint tegyük fel, hogy adva van egy R halmaz, amelyen értelmezve van egy +-szal és egy \cdot-tal jelölt kétváltozós művelet. Az (R,+,\cdot) algebrai struktúrát gyűrűnek nevezzük, ha teljesülnek az alábbiak:
- Az R halmaz a + művelettel Abel-csoportot alkot.
- Az R halmaz a \cdot művelettel félcsoportot alkot.
Az 1. pontban szereplő (R,+) Abel-csoportot az R gyűrű additív csoportjának nevezzük és R^+-szal jelöljük. Amennyiben az R gyűrű egységelemes, akkor vannak olyan elemei, amelyeknek a \cdot műveletre nézve is létezik inverze – az egységelem és ellentettje például mindenképpen ilyen. Ezeknek az invertálható elemeknek a halmaza – amely tehát R-nek egy nemüres részhalmaza – a \cdot művelettel szintén csoportot alkot, amelyet az R gyűrű multiplikatív csoportjának nevezzük és R^{\times}-tel jelöljük.