A megalázott géniusz

A matematika fejlődésének vannak nagyszerű és kevésbé nagyszerű pillanatai. Az azonban talán elmondható, hogy a legnagyobb áttöréseket gyakran „magányos harcosok” szokták elérni. Ezek az eredmények olyan zseniális elmék agyszüleményei, akiknek nagyszerű gondolataira sok esetben még nem érett meg az a korszak, amelyikben éltek. Éppen ezért könnyen megtörténhet, hogy az ilyen géniuszok érdemeit csak jóval később, sokszor haláluk után ismerik fel, míg életükben elismerés helyett inkább a megaláztatás és a szegénység az ő osztályrészük. Ebben a cikkben egy ilyen tragikus sorsú ifjú zseniről lesz szó, akinek mindössze 20 szenvedésekkel teli év jutott. Rövid élete alatt azonban kidolgozott egy olyan elméletet, amely évszázadok óta nyitott kérdésekre adta meg a választ, továbbá lerakta a mai modern algebra alapjait. Ezáltal rengeteg eszközt adott az őt követő nemzedékek kezébe, új lendületet adva talán az egész matematika fejlődésének. Az ő neve Évariste Galois volt…

Az ifjú Galois 1811. október 25-én látta meg a napvilágot egy Párizstól délre fekvő kis faluban, Bourg-la-Reine-ben. Egy meglehetősen viharos történelmi időszakban vagyunk 22 évvel a nagy francia forradalom után. Bonaparte Napóleon hatalma csúcsán volt, és a következő évben kísérletet tett, hogy leszámoljon utolsó kontinentális ellenségével, az Orosz Birodalommal. Az 1812-es oroszországi hadjárat azonban katasztrófális vereséggel ért véget. A cári hadsereg a felperzselt föld taktikáját alkalmazva vonult vissza, amely megnyitotta az utat a franciák előtt Moszkva felé, és szeptember 14-én el is foglalták, Kutuzov hadserege ugyanakkor talpon maradt. A véres és eldöntetlen csatával, és Moszkva felégetésével, illetve a békeszerződés fel nem ajánlásával Napóleont lassan visszavonulásra kényszerítették az oroszok, ami a tél beálltával végzetes meneküléssé vált. A hadjárat során Napóleon seregének legalább félmillió katonája meghalt, eltűnt, vagy fogságba esett és csak körülbelül 20 000 ember tért haza. A Grande Armée ezzel gyakorlatilag megsemmisült.

Napóleont 1814-ben Elba szigetére száműzték és XVIII. Lajos király lépett a francia trónra. 1815-ben ugyan tett még egy sikeres kísérletet a hatalom visszaszerzésére, ám mindössze száz nap múlva Waterloo-nál végzetes vereséget szenvedett az egyesült brit-holland-belga és porosz seregektől. Napólen 1821-es haláláig Szent Ilona szigetén élt száműzetésben. Noha ezután Franciaországban restaurálták a királyságot, a bonapartizmus továbbra is jelentékeny politikai tényező maradt. Az erre az időszakra jellemző heves politikai csatározások az ifjú Galois életére és tudományos karrierjére meglehetősen negatív hatással voltak. Ráadásul az általános nyugtalanságon túl apjától is kapott indíttatást a politika iránti érdeklődésre, akit Napóleon visszatérése idején Bourg-la-Reine polgármesterévé választottak. Nicolas-Gabriel Galois akkora megbecsülést szerzett polgármestersége kezdetén, hogy posztját Napóleon végleges elűzése és XVIII. Lajos visszatérése után is megtarthatta.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Évariste 12 éves koráig édesanyjától tanult, ekkor került a Collège Royal de Lous-le-Grand-ba, egy jó hírű, de tekintélyelvű intézménybe. Itt unalmas, középszerű tanárai inkább hátráltatták mint segítették volna a tanulásban. Szerencsére matematikai tehetségére igen korán fény derült. Alig volt 15 éves, amikor megnyílvánultak rendkívüli matematikai képességei. Ezek annyira nagyszabásúak voltak, hogy a tankönyvek nem elégítették ki érdeklődését, inkább elmerült a matematika akkor ismert legnagyobb alakjainak írásaiban. Hihetetlenül rövid idő alatt elsajátította Adrien-Marie Legendre geometriai és Joseph Lous Lagrange algebrai műveit.

Ekkoriban, Louis Richard tanítványaként kezdtek Galois-ban körvonalazódni a később róla elnevezett Galois-elmélet alapjai. Ebben az időben a matematika egyik legfontosabb megoldatlan problémája a különböző algebrai egyenletek úgynevezett gyökképlettel való megoldhatóságának kérdése volt. Egy gyökképlet gyakorlatilag egy olyan eljárást ad használója kezébe, amelynek segítségével bármilyen – az adott családba tartozó – egyenlet megoldásait könnyedén képes megtalálni a négy alapművelet és a gyökvonás véges sokszori alkalmazásával.

Az általános iskolában például mindenki megtanulta a másodfokú egyenlet megoldóképletét. De ha mégsem tanulta meg, akkoris viszonylag könnyedén rá lehet jönni, ahogyan azt most meg is fogjuk mutatni. Egy általános másodfokú egyenlet a következőképpen néz ki:

ax^2+bx+c=0

Itt az a, b és c számok az adott egyenlet paraméterei, és ezek segítségével szeretnénk képletet adni az összes olyan számra, amelyeket az x ismeretlen helyére behelyettesítve az egyenlet fennáll. Minden másodfokú egyenlet ilyen alakra hozható, így ha sikerül ilyen képletet találnunk, akkor onnantól kezdve bárki bármilyen, ebbe a családba tartozó egyenletet bambán meg fog tudni oldani. Az apró nehézséget ugye itt az okozza, hogy az x ismeretlennek a második hatványa is szerepel az egyenletben.

Előszöris, osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a másodfokú tag a együtthatójával. Ezt minden további nélkül megtehetjük, hiszen a\neq 0, máskülönben az egyenlet nem lenne másodfokú. Az osztás után az alábbit kapjuk:

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

Ahhoz, hogy ezt az egyenletet megoldhassuk, a baloldalt olyan alakra kell hoznunk, hogy egy négyzetgyökvonás után már ne maradjon az egyenletben másodfokú tag. Ennek érdekében most megpróbálunk olyan A és B számokat találni, amelyekre teljesül az alábbi egyenlőség:

(x+A)^2+B=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}

A baloldalon szereplő x+A összeg négyzetreemelését elvégezve az alábbit kapjuk:

x^2+2Ax+A^2+B=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}

A keresett A és B számokat tehát úgy kell megválasztanunk, hogy a bal- és jobboldalon szereplő megfelelő pozícióban lévő együtthatók megegyezzenek. Azaz teljesülnie kell az alábbi két egyenletnek:

\begin{aligned}2A&=\frac{b}{a} \\ A^2+B&=\frac{c}{a}\end{aligned}

Ezt az egyenletrendszert megoldva az alábbiakat kapjuk A-ra és B-re:

\begin{aligned}A&=\frac{b}{2a} \\ B&=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\end{aligned}

Ezeket a helyettesítéseket szem előtt tartva tehát az eredeti egyenletünk most így néz ki:

(x+A)^2=-B

Mostmár mindkét oldalból négyzetgyököt vonhatunk. Vigyáznunk kell azonban, mivel a baloldalon szereplő (x+A)^2 kifejezés nem csak x+A-nak, hanem az ellentettjének is négyzete. Vagyis a fenti egyenlet pontosan akkor teljesül, ha teljesül az alábbi két állítás közül legalább az egyik:

\begin{aligned}x+A&=\sqrt{-B} \\ x+A&=-\sqrt{-B}\end{aligned}

Röviden ezt így szokták felírni:

x+A=\pm\sqrt{-B}

Ha az A számot átvisszük a jobboldalra, és elvégezzük a fentebb kiszámolt behelyettesítéseket, akkor megkapjuk a megoldásunkat x-re:

x=\underbrace{-\frac{b}{2a}}_{-A}\pm\sqrt{\underbrace{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}_{-B}}

Ezt a másodfokú egyenlet megoldóképletének nevezzük, amely a gyökjel alatti kifejezésben szereplő törtek közös nevezőre hozásával egy ismerősebb alakra hozható:

x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

Ha valakinek ez még mindig nem lenne ismerős, akkor emeljük ki a gyökjel alatti tört nevezőjét a gyökjelen kívülre:

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Galois az iskolapadban

Kollégiumi éveiben Galois-t az ilyen „egyszerű” problémák nemigazán kötötték le, őt elsősorban a magasabbfokú egyenletek érdekelték. A helyzet nagyban bonyolódik ugyanis, ha az egyenlet tartalmazza az x ismeretlen magasabb hatványait is. Például a harmad- és negyedfokú egyenletek már a harmadik és negyedik hatványokat is tartalmazzák. Ezek általános formája a következő:

\begin{aligned}ax^3+bx^2+cx+d&=0 \\ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e&=0\end{aligned}

Ezeknek az egyenleteknek a megoldóképleteit itáliai matematikusok – többek között Gerolamo Cardano és tanítványa, Ludovico Ferrari – fedezték fel a 16. században. Azonban az azóta eltelt 300 évben nem történt semmiféle előrelépés ezen a területen, az ötöd- és magasabbfokú egyenletek megoldóképleteit még mindig nem ismerték akkoriban, amikor Galois a kollégium padjait koptatta. Ez persze nem azt jelentette, hogy ilyen egyenleteket ne tudtak volna megoldani valamilyen közelítő eljárással. Pusztán annyit, hogy nem volt ismeretes egy olyan képlet, amely a négy alapművelet valamint gyökvonások segítségével véges sok lépésben előállította volna a megoldásokat. Sőt az sem volt világos, hogy ez a hiány a matematikusok ügyetlenségében keresendő, vagy pedig nem is léteznek ilyen formulák.

A választ Galois egyik kortársa, Niels Henrik Abel adta meg 1824-ben, aki bebizonyította, hogy az ötöd- és magasabbfokú egyenletek általában nem oldhatók meg gyökképlet segítségével (Abel-Ruffini tétel). Galois erről az eredményről csak később szerzett tudomást, ám ez előnyére vált, mert így egy sokkal általánosabb elméletet sikerült kidolgoznia, amely – sok egyéb addig megoldatlan probléma megoldása mellett – a gyökképlettel való megoldhatóság pontos feltételeit is meghatározza. Mondhatjuk tehát azt, hogy Galois tinédzser korában az akkori matematika egyik legnehezebb problémájával nézett szembe. Mindeközben kollégiumi tanárai olyan nevetséges kérdéseket tettek fel neki, minthogy hogyan kell egy szöget két egyenlő részre osztani körző és vonalzó segítségével. Akinek 15 évesen az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságával kapcsolatos gondolatok járnak a fejében, az tényleg sértésnek érezhette, hogy a szögfelezés primitív problémájával kell foglalkoznia.

Galois tanulmányi előmenetelét tulajdon csapongó, éles elméje akadályozta leginkább. Matematikai ismeretei nyilvánvalóan messze meghaladták tanárai felfogóképességét, megoldásai annyira újszerűek és bonyolultak voltak, hogy vizsgáztatói képtelenek voltak megérteni őket. Ráadásul rengeteg logikai lépést fejben végzett el, és nemigen vesződött azzal, hogy indoklásait részletesen leírja. Ezzel még inkább zavarba ejtette feladatukra alkalmatlan tanárait. Louis Richard volt a Louis-le-Grand egyetlen tanára, aki felismerte Galois zsenialitását. Egyszer így nyilatkozott tanítványáról:

Ez a diák kizárólag a matematika legfelsőbb régióiban él. Ez a fiú valósággal megszállottként foglalkozik a matematikával. Azt hiszem, az lenne a legjobb neki is, ha szülei hagynák, hogy kizárólag csak ezt tanulja. Különben csak az idejét vesztegeti itt, gyötri tanárait, és minduntalan büntetéseknek teszi ki magát.

Heves temperamentuma és meggondolatlansága miatt nem kedvelték különösebben sem tanárai, sem általában azok, akik az útjába kerültek. Ez sajnos megágyazott későbbi kudarcainak is. Kétszer is jelentkezett az École Polytechnique-ra – a francia Műszaki Egyetemre –, amely az ország legtekintélyesebb egyeteme volt, ám mindkét felvételi kérelmét elutasították szemtelen viselkedése és hiányos, vagy vizsgáztatói számára érthetetlen magyarázatai miatt. Második alkalommal logikai szárnyalása összezavarta szóbeli vizsgáztatóját, Dinet urat. Galois érezte, hogy másodszor is megbukik a felvételin, ezért bosszúságában állítólag egy táblatörlőt vágott vizsgáztatója fejéhez. Az eset után érthető módon soha többé nem próbálkozott a Műszaki Egyetemmel. Ráadásul a további sorozatos kudarcok, egy személyes tragédia, valamint a következő időszak politikai csatározásai végképp megpecsételték Galois sorsát.

Lelkes republikánusként

Galois mindössze tizenhét éves korában az ötöd- és magasabbfokú egyenletekkel kapcsolatban benyújtott két cikket a tudományos akadémiának. A kijelölt bíráló Augustin-Louis Cauchy volt, akire nagy hatást tett a fiatalember munkája. Úgy ítélte meg, hogy megpályázhatná az akadémia matematikai nagydíját, azonban a nevezéshez a két cikket egyetlen önálló tanulmányként kellene benyújtani. Ezért Cauchy visszaadta a cikkeket, és várta, hogy Galois újra jelentkezzen. Az ifjú géniusz végre eljutott az elismerés küszöbére.

Ebben a forrongó időszakban azonban állandó volt a harc a köztársaságpártiak és a királypártiak között. 1829 júliusában új jezsuita pap érkezett Bourg-la-Reine faluba, ahol még mindig Galois apja volt a polgármester. Az új pap nem bírta elviselni, hogy Nicolas-Gabriel Galois köztársaságpárti, ezért mindenféle ármánykodással és álhírek terjesztésével aláásta tekintélyét. Az idősebb Galois nem viselte el ezt a zaklatást, és 1829-ben öngyilkos lett. A koporsó leeresztése közbe verekedés tört ki a temetési szertartást végző jezsuiták és a polgármester hívei között, amely lázadássá fajult, és a koporsót szertartás nélkül hagyták belezuhanni a sírba. Galois kénytelen volt végignézni, ahogyan a francia egyház tönkretette és megalázta apját, ezért még meggyőződésesebb támogatója lett a köztársaságpártiak ügyének.

A tragédia után Párizsba visszatérve eleget tett Cauchy kérésének, összefésülte a két cikket, és leadta az akadémia titkárának, Joseph Fourier-nak. Számos matematikus Galois-t tartotta a matematikai nagydíj várományosának, azonban legnagyobb meglepetésre kiderült, hogy az akadémia nem is tudott a benyújtott pályázatról. Fourier ugyanis idő előtt meghalt, így a dolgozat végül nem került a vizsgálóbizottság elé. Galois azt gyanította, hogy a politikailag elfogult akadémia szándékosan tüntette el munkáját. Gyanúja tovább erősödött, amikor az akadémia egy évvel később azzal utasította el egy másik kéziratát, hogy „az nincs rendesen kidolgozva”. Galois meg volt róla győződve, hogy politikai nézetei miatt kitaszították a matematikusok közösségéből, és világossá vált számára, hogy pályáját nem tudja hivatásos matematikusként folytatni.

Ezért mélyen megbántva felvételizett, majd 1830-ban felvételt nyert a kevésbé rangos École Normale Supérieure tanárképző főiskolára. A történtek hatására elhanyagolta kutatásait, és inkább köztársaságpárti ügyekben folytatott csatározásokat, ezért a főiskolán főként bajkeverőként tartották számon. Az iskola igazgatója, Joseph-Daniel Guigniaut lelkes királypárti, míg a legtöbb diák köztársaságpárti volt. Ekkoriban X. Károly volt az uralkodó, aki nem tartotta tiszteletben a korábban kivívott szabadságjogokat és korlátozta a polgári intézményrendszer működését. Ez tömeges megmozdulásokat eredményezett, amely az 1830-as júliusi forradalomban érte el csúcspontját. Az iskola igazgatója bezáratta a diákokat a kollégiumba, így Galois a harcokban nem tudott köztársaságpárti barátainak segíteni.

A forradalom eredményeként X. Károlyt elűzték, és a Bourbon-ház helyett az Orléansi-házat nyilvánították ki a királyi hatalom folytatójának. Az új uralkodó Lajos Fülöp lett, aki a néphez való kötődését hangsúlyozta a korábbi rezsim államhoz való kötődése helyett. Sokak – köztük Galois – szerint azonban a forradalom ezzel elbukott, hiszen nem egy újabb királyt akartak a régi helyett, hanem köztársaságot. Galois elkeseredettségében fő feladatának azt tekintette, hogy az École Normale-ban nyugtalanságot keltsen, ezért amikor csak alkalma nyílt rá, éles hangvételű cikkekben támadta az iskola igazgatóját. A retorzió nem is váratott magára sokat: 1830 decemberében fegyelemsértő diákként elbocsájtották a tanárképző főiskoláról. Galois matematikai pályafutása ezzel formálisan véget ért.

A rácsok mögött

Ezután január 4-én csatlakozott a Nemzeti Gárda Tüzérségéhez, amely a polgárőrség köztársaságpárti szárnya volt. Lajos Fülöp, megelőzvén egy újabb lázadást 1831 áprilisában feloszlatta a Nemzeti Gárdát. A Gárda 19 tagját elfogták, és azzal vádolták őket, hogy összeesküvést terveztek Lajos Fülöp ellen. A 19-eket végül felmentették, ennek örömére a köztársaságpártiak az ő tiszteletükre bankettet rendeztek egy étteremben. Az eseményen Galois is részt vett, aki egy pohár borral és egy tőrrel a kezében szólásra emelkedett. A nagy lárma miatt csak annyit lehetett kivenni, hogy fenyegetések hangzottak el, és Lajos Fülöp nevét emlegetik. Néhány nappal később, 1831. május 10-én Galoist letartóztatták, és a Saint-Pélagie börtönbe szállították, és bíróság elé állították azzal a váddal, hogy a király életére tör. Végül csak egy hónapot töltött a rácsok mögött, mivel egyértelmű bizonyítékok hiányában felmentették.

Azonban alig telt el egy hónap, és Galois-t ismét elfogták, mert a betiltott Nemzeti Gárda egyenruhájában masírozott Párizs utcáin. Október végén született meg az ítélet: ezúttal hat hónap börtönt kapott, így visszakerült a Saint-Pélagie falai közé. Vizsgálati fogsága idején, 1831. július 30-án egy orvlövész a börtönnel szemközti padlásablakból egy golyót lőtt be Galois cellájába, amely megsebesítette cellatársát. Galois meg volt róla győződve, hogy a golyót neki szánták. A politikai üldöztetéstől való félelem rettegésben tartotta, a barátaitól és családjától való távollét és matematikai eredményeinek elutasítása pedig mély depresszióba taszította. Ráadásul az alkoholtól addig tartózkodó fiatalembert a körülötte lévő gazemberek rákapatták az italra. Egyszer részeg önkívületében megpróbálta agyonszúrni magát, ám társainak sikerült ezt megakadályozniuk.

A végzetes szerelem

1832. márciusában kolerajárvány tört ki, és a rabokat elengedték a börtönből. Galois elkapta a betegséget, ezért egy rövid időre rabkórházba került. Bár erre vonatkozóan nincsenek megbízható információk, de valószínűleg ezidő alatt ismerkedett meg egy bizonyos Stéphanie-Félicie Poterine du Motel nevű nővel, aki a kórház egyik orvosának lánya volt. Galois szerelmes lett ebbe a nőbe, aki azonban jegyben járt egy úriemberrel, Pescheux d’Herbinville-lel, s az rájött, hogy menyasszonya hűtlen lett hozzá. D’Herbinville volt Franciaország egyik legjobb lövésze, és dühében hajnali párbajra hívta ki Galois-t. A párbajt 1832. május 30-án reggel hat órára beszélték meg.

Galois tisztában volt vetélytársa hírnevével, ezért a párbaj előtti estén levelet írt legjobb barátjának, Auguste Chevalier-nek. Ebben a levélben írta meg tudományos végrendeletét, amelyre a mai modern algebra épül. Mivel tudta jól, hogy talán ez lesz az utolsó alkalom, hogy gondolatait papírra vetheti, kétségbeesésében egész éjjel dolgozott. Az alábbi ábrán látható Galois levelének egyik utolsó lapja:

A bonyolult algebrai levezetésekbe helyenként kétségbeesett kitörések vannak beleszőve: „Stéphanie” vagy „Nincs időm!”. Miután számításait befejezte, Chevalier-nek írt levelét az alábbi mondatokkal zárta:

Nyomtasd ki ezt a levelet a Revue Encyclopédique-ben. Életem folyamán sokszor mertem olyan megállapításokat tenni, amelyekben nem voltam biztos. De mindaz, amit itt leírtam, már majdnem egy éve a fejemben van és nagy érdekem, hogy ne tegyem ki magamat annak a gyanúnak, hogy olyan tételeket hirdetek, amelyek nincsenek teljes mértékben bebizonyítva. Intézz nyilvánosan kérést Jacobihoz, vagy Gauss-hoz, hogy mondjanak véleményt ezeknek a tételeknek nemcsak az igazságáról, hanem a fontosságukról is. Akkor remélhetőleg akadnak majd olyanok, akik érdemesnek tartják ezt az egész zűrzavart kibetűzni. Túláradó szeretettel ölellek. E.Galois, 1832. május 29.

Május 30-án hajnalban Galois és d’Herbinville találkoztak a párbaj helyszínén, mindketten felemelték a pisztolyt és tüzeltek. D’Herbinville állva maradt, Galois-t a gyomrán érte a találat, és magatehetetlenül feküdt a földön. Fivére, Alfréd csak néhány órával később érkezett a párbaj helyszínére, és kórházba vitte testvérét. De hiába: Évariste Galois, az egyik legzseniálisabb matematikus alig több, mint 20 évesen, 1832. május 31-én, délelőtt 10 órakor életét vesztette…

Temetése éppoly groteszk volt, mint édesapjáé. Az összegyűlt köztársaságpárti tömeg és a kormány emberei között tömegverekedés tört ki. A gyászolók ugyanis azt gyanították, hogy d’Herbinville valójában a kormány ügynöke volt, nem pedig holmi megcsalt vőlegény, Stéphanie pedig csak egy cselszövő csábító. A történészek is vitatják, hogy ez a párbaj vajon egy tragikus szerelmi kaland végkifejlete volt-e, vagy valóban politikai indítékok húzódtak-e meg a háttérben. De akár így volt, akár úgy, pótolhatatlan veszteségként vonult be a matematikatörténetbe a tény: az egyik legnagyobb matematikust mindössze 20 évesen megölték.

Bár a Galois által írt levelet Chevalier kötelességtudóan eljuttatta Gauss-hoz és Jacobi-hoz, de csaknem egy évtizedig nem kapott különösebb figyelmet. Egy példány azonban 1846-ban Joseph Liouville kezébe került, aki felismerte, hogy a papírra firkált zavaros számítások egy zseniális elme agyszüleményei, és hónapokat töltött azzal, hogy megpróbálja megérteni a jelentésüket. Liouville végül a neves Journal de Mathématiques pures et appliquées című folyóiratban publikálta a megszerkesztett cikkeket.

Galois tényleg teljes magyarázatot adott az ötöd- és magasabbfokú egyenletek gyökképlettel történő megoldhatóságának kérdésére, de ezeken kívül egy sor addig megválaszolatlan kérdésre is megadta a választ. Ilyenek például bizonyos geometriai szerkeszthetőséggel kapcsolatos ókori problémák, mint például az úgynevezett körnégyszögesítés és a szögharmadolás. Előbbinél a feladat egy adott kör területével egyenlő területű négyzet szerkesztése, utóbbinál pedig egy adott szög három egyenlő részre osztása. Furcsamód a Galois-elméletből következik az is, hogy ezeket a szerkesztéseket nem lehet elvégezni pusztán körző és vonalzó felhasználásával, azaz euklidészi szerkesztéssel.

A Galois-elmélet alapjai

Végül szólunk néhány szót a Galois-elmélet alapgondolatairól. Mivel a témakör messze túlmutat ennek a cikknek a keretein, ezért ez csupán egy nagyon felületes, mindenféle matematikai precizitást mellőző áttekintés lesz. A cél az lenne, hogy az Olvasónak legyen némi elképzelése, miről is szól ez az elmélet. Aki komolyabban érdeklődik a téma iránt, annak első körben Kiss Emil „Bevezetés az algebrába” című könyvének 6. fejezetét érdemes áttekintenie. Ez elektronikus formában itt érhető el.

A másodfokú egyenletek mintájára egy általános n-edfokú egyenlet a következő alakban írható fel:

a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0 = 0

Itt a baloldali kifejezést kissé pongyolán fogalmazva n-edfokú polinomnak, az a_0, a_1, a_2, …, a_n számokat pedig a polinom együtthatóinak nevezzük. Némileg általánosabban fogalmazva az együtthatóktól azt követeljük meg, hogy azok egy úgynevezett gyűrű, vagy speciálisabb esetben egy úgynevezett test elemei legyenek. Ilyenkor az adott gyűrű vagy test feletti polinomokról beszélünk. A polinomokról bővebben ebben, a gyűrűkről és testekről pedig ebben a cikkben volt szó.

Nem kell megijedni azonban, ha az Olvasó nincs tisztában ezekkel a fogalmakkal. A gyűrűk és testek ugyanis rendre az egész számok, illetve az ezek hányadosaiként előálló tört-, vagy más néven racionális számok halmazának általánosításai, absztrakciói. Az absztrakt algebrában test alatt egy halmazt értünk, amelyen értelmezve van két olyan művelet, amelyek eleget tesznek bizonyos szabályoknak, az úgynevezett testaxiómáknak. E két műveletet általában „összeadásnak” és „szorzásnak” nevezzük, noha adott kontextusban egyáltalán nem biztos, hogy van közük a hagyományos, számokon értelmezett ugyanilyen nevű műveletekhez. A testaxiómák azt biztosítják, hogy ez a bizonyos két művelet „ugyanúgy viselkedjen”, mint ahogyan azt a számok körében megszokhattuk.

A Galois-elmélet a testekkel foglalkozik, amelyek annyiban „tudnak többet” egy sima gyűrűnél, hogy esetükben nemcsak az „összeadás”, hanem a „szorzás” is megfordítható, vagy tudományosabban fogalmazva invertálható. Például az egész számok \Z-vel jelölt halmaza a szokásos műveletekkel csak egy gyűrű, de nem test, mivel a kivonás ugyan korlátlanul elvégezhető bármely két egész szám között, azonban az osztás nem. Ahhoz, hogy a szorzás is invertálható legyen, ki kell lépnünk az egész számok köréből, és át kell térnünk a törtszámokat is tartalmazó racionális számok körébe. Ezt a halmazt \mathbb{Q}-val jelöljük, amely tehát már egy testet alkot a szokásos műveletekkel. Az Olvasó tehát nyugodtan gondolhat erre a számhalmazra és a szokásos alapműveletekre a továbbiakban, amikor testekről beszélünk.

Testbővítések

Egy T test feletti polinom T-beli gyökei alatt a T test azon elemeit érjük, amelyeket x helyére behelyettesítve a polinomot leíró kifejezésbe a T test nullelemét kapjuk. Ha például az előző szakaszban szereplő n-edfokú egyenlet baloldalát egy \mathbb{Q} feletti polinomnak tekintjük, akkor ennek \mathbb{Q}-beli gyökei azok a racionális számok lesznek, amelyek kielégítik az egyenletet. Elképzelhető azonban, hogy egy polinomnak nincs gyöke egy testben, de egy bővebb testben már van. Tekintsük például a \mathbb{Q} feletti alábbi p polinomot:

p(x)=x^2-2

Ennek a polinomnak egyáltalán nincs gyöke \mathbb{Q}-ban, hiszen sem a \sqrt{2}, sem pedig a -\sqrt{2} nem racionális szám – mint ahogyan azt ebben a cikkben bizonyítottuk. Érdemes ezért \mathbb{Q} helyett egy olyan bővebb testet tekinteni, amely már tartalmazza ezeket. Például tekintsük a legszűkebb olyan testet, amely a racionális számokon kívül tartalmazza a \sqrt{2}-t is. Ezt a testet \mathbb{Q}(\sqrt{2})-vel jelöljük. Nem nehéz megmutatni, hogy ez valóban egy test, és pontosan az a+b\sqrt{2} alakban felírható számokból áll, ahol a és b racionális számok. Az is megmutatható, hogy ő a legszűkebb olyan tulajdonságú test, amely tartalmazza az összes racionális számot, valamint a \sqrt{2}-t is. Ezalatt azt értjük, hogy bármely elemet kidobva \mathbb{Q}(\sqrt{2})-ből a kapott struktúra már nem test.

Ehhez hasonlóan az alaptestet bővíthetjük további elemekkel is. Például \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) jelöli azt a legszűkebb testet, amely tartalmazza az összes racionális számot, valamint a \sqrt{2} és \sqrt{3} számokat is. Ez a test az a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} alakban felírható számokból áll, ahol az a, b, c és d együtthatók racionális számok.

Az előző példában szereplő p polinom vizsgálatához a \mathbb{Q}(\sqrt{2}) testet már nem kell tovább bővítenünk, hiszen ez már a -\sqrt{2}-t, azaz a fenti p polinom másik gyökét is tartalmazza. Azaz a fenti jelölésekkel mondhatjuk azt, hogy \mathbb{Q}(\sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}). Ha adott egy p polinom, akkor a legszűkebb olyan testet, amely p minden gyökét tartalmazza a p polinom felbontási testének nevezzük. Egy polinom felbontási testének a vizsgálatával tudjuk eldönteni, hogy vajon a gyökök kifejezhetők-e a polinom együtthatóiból a négy alapművelet és gyökvonások véges sokszori alkalmazásával, vagy esetleg ilyen megoldóképlet egyáltalán nem létezik. Többek között az ilyen jellegű vizsgálatokhoz ad hatékony eszközöket a matematikusok kezébe a Galois-elmélet.

Általánosságban fogalmazva tehát adva van egy K alaptest, és egy őt tartalmazó, de nála bővebb L test – például egy K feletti polinom felbontási teste. Ekkor azt mondjuk, hogy K részteste L-nek, vagy pedig – a másik irányból vizsgálva a dolgot – L bővítése K-nak. Ezt a testbővítést L/K-val jelöljük. Az előzőekben például a \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q} testbővítésről volt szó. A Galois-elmélet alkalmazásai során általában az a feladat, hogy egy ilyen testbővítéshez meg kell találnunk az úgynevezett közbülső testeket, mivel ezek ismeretében tudunk megválaszolni olyan kérdéseket, mint például különböző egyenletek gyökképlettel való megoldhatósága, vagy akár egy alakzat geometriai szerkeszthetősége. Egy L/K testbővítés esetén az olyan T testeket nevezzük közbülső testeknek, amelyek esetén L/T és T/K szintén testbővítések.

Szimmetrikus csoportok

Galois zseniális ötlete az volt, hogy egy L/K testbővítés esetén a közbülső testek meghatározásához egy másik algebrai struktúrát, nevezetesen e testbővítés bizonyos értelemben vett szimmetriáinak az úgynevezett csoportját érdemes vizsgálni. Mielőtt rátérnénk arra, hogy egy tesbővítés szimmetriái alatt pontosan mit is értünk, ismerkedjünk meg röviden a „csoport” fogalmával (a csoportokról bővebben ebben a cikkben volt szó).

A csoportok a gyűrűkhöz és testekhez hasonlóan algebrai struktúrák, azaz művelettel ellátott halmazok. Az ő esetükben azonban az alaphalmazukon kettő helyett csak egy művelet van értelmezve, amelyet általában „szorzásnak” nevezünk, és a \cdot szimbólummal, vagy egymás után írással jelölünk. Ennek a bizonyos műveletnek az alábbi 3 úgynevezett csoportaxiómát kell teljesítenie:

1. A művelet asszociatív, azaz tetszőleges a, b és c elemek esetén (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).
2. Létezik olyan e-vel jelölt speciális elem a csoportban, amelyre igaz, hogy tetszőleges a elem esetén a\cdot e=e\cdot a=a. Az ilyen tulajdonságú e elemet neutrális elemnek, vagy egységelemnek nevezzük.
3. Tetszőleges a elemhez létezik olyan a^{-1}-gyel jelölt elem, amelyre teljesül, hogy a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e. Ekkor az a^{-1} elemet az a elem inverzének nevezzük.

Például minden test alaphalmaza csoportot alkot a testben értelmezett összeadásra nézve, melynek neutrális eleme a test nulleleme. Továbbá ha a test alaphalmazából eltávolítjuk a nullelemet, akkor az így kapott halmaz a testben értelmezett szorzásra nézve is csoportot alkot. Ebben az esetben a neutrális elem a test egységeleme lesz. Speciálisan például a racionális számok \mathbb{Q} halmaza csoportot alkot az összeadásra nézve. Ekkor a neutrális elem a 0 szám. Ezenkívül \mathbb{Q} a 0 számot kivéve csoportot alkot a szokásos szorzásra nézve is, melynek neutrális eleme az 1 szám. Ezekben az esetekben a művelet a fenti csoportaxiómákon kívül kommutatív is, azaz a műveletben résztvevő elemek sorrendje felcserélhető. Az ilyen csoportokat kommutatív csoportoknak, vagy más nével Abel-csoportoknak nevezzük.

Számunkra most olyan csoportok lesznek érdekesek, amelyek esetén a csoportműveletre nem feltétlenül teljesül a kommutativitás. Képzeljük el, hogy adva van egy n darab elemet tartalmazó X halmaz. Az elemeket most az egyszerűség kedvéért jelöljük az 1, 2, …, n egész számokkal, és tekintsük az X halmaz elemeinek összes lehetséges úgynevezett permutációját, vagy tudományosabban fogalmazva X önmagára történő kölcsönösen egyértelmű leképezéseit. Egy ilyen permutáció alatt az X halmaz elemeinek „átcímkézését” értjük. Ha például X=\{1;2;3\}, akkor az alábbi \sigma-val jelölt leképezés egy permutáció:

\begin{aligned}1&\xmapsto{\sigma} 3\\2&\xmapsto{\sigma} 2\\3&\xmapsto{\sigma} 1\end{aligned}

Ugyanezt a függvényeknél használt jelölésekkel is leírhatjuk:

\begin{aligned}\sigma(1)&=3\\\sigma(2)&=2\\\sigma(3)&=1\end{aligned}

Egy másik permutáció lehet az alábbi, amelyet \tau-val jelöltünk:

\begin{aligned}1&\xmapsto{\tau} 2\\2&\xmapsto{\tau} 3\\3&\xmapsto{\tau} 1\end{aligned}

Könnyen látható, hogy az X halmazon összesen n! (azaz n faktoriális) darab különböző permutáció hathat. Jelöljük S_n-nel e permutációk halmazát, és értelmezzünk ezen a halmazon egy kompozíciónak nevezett műveletet. A műveletet jelöljük a \bullet szimbólummal, és két permutáció kompozícióján értsük azt a permutációt, amelyet a két permutáció egymás után alkalmazásával kapunk. Például a fenti \sigma és \tau permutációk \sigma\bullet\tau-val jelölt kompozícióját az alábbiak szerint kapjuk:

\begin{array}{cc}\begin{aligned}1&\xmapsto{\sigma} 3\xmapsto{\tau} 1\\2&\xmapsto{\sigma} 2\xmapsto{\tau} 3\\3&\xmapsto{\sigma} 1\xmapsto{\tau} 2\end{aligned} & \implies & \begin{aligned}1&\xmapsto{\sigma\bullet\tau} 1\\2&\xmapsto{\sigma\bullet\tau} 3\\3&\xmapsto{\sigma\bullet\tau} 2\end{aligned} \end{array}

Figyeljük meg, hogy a \bullet művelet nem kommutatív, hiszen ha a másik irányban végezzük el a kompozíciót, akkor egy egészen más permutációt kapunk:

\begin{array}{cc}\begin{aligned}1&\xmapsto{\tau} 2\xmapsto{\sigma} 2\\2&\xmapsto{\tau} 3\xmapsto{\sigma} 1\\3&\xmapsto{\tau} 1\xmapsto{\sigma} 3\end{aligned} & \implies & \begin{aligned}1&\xmapsto{\tau\bullet\sigma} 2\\2&\xmapsto{\tau\bullet\sigma} 1\\3&\xmapsto{\tau\bullet\sigma} 3\end{aligned} \end{array}

Az azonban viszonylag könnyen belátható, hogy a kompozíció művelete – noha nem kommutatív – teljesíti a csoportaxiómákat, vagyis az S_n halmaz egy csoportot alkot a kompozícióra, mint műveletre nézve. Ezt a csoportot n elemű szimmetrikus csoportnak nevezzük. Az egységelem nyilván az a permutáció lesz, amely X minden elemét helybenhagyja, egy permutáció inverze pedig az adott permutáció megfordítása lesz. Az asszociativitás igazolását gyakorlásképp az Olvasóra hagyjuk. Javasoljuk annak átgondolását is, hogy a fenti konstrukció abban az esetben is csoport alkot, amennyiben az X halmaznak esetleg végtelen sok eleme van. Ilyenkor S_n helyett az S_X jelölést szoktuk használni. De vajon mi köze ennek az egésznek a testbővítésekhez?

Testbővítések szimmetriái és Galois-csoportja

Láttuk, hogy az előző szakaszban definiált szimmetrikus csoport hatással van az X alaphalmaz elemeire. Nevezetesen a csoport elemei ugye permutációk (vagy leképezések), amelyek felcserélik – ha úgy tetszik „átcímkézik” – az alaphalmaz elemeit. Ehhez hasonlóan egy L/K testbővítés esetén is beszélhetünk olyan leképezésekről, amelyek a bővebb L test elemeit cserélgetik fel egymással. Ezek közül számunkra elsősorban az olyan \varphi permutációk (vagy leképezések) lesznek érdekesek, amelyek az alábbi két speciális tulajdonságnak is megfelelnek:

1. A \varphi leképezés a bővebb L test egy úgynevezett automorfizmusa, vagyis azonkívül, hogy ő egy permutáció, még művelettartó is. A művelettartó tulajdonság azt jelenti, hogy az L test tetszőleges a és b elemeire teljesül, hogy egyrészt \varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b), másrészt \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b). Azaz mindegy, hogy először végezzük el a leképezést, és az eredményekre alkalmazzuk a test műveleteit, vagy fordítva, mindkét esetben ugyanazt kell kapnunk eredményül.
2. A \varphi leképezés a szűkebb K test minden elemét önmagára képzi. Azaz a K test tetszőleges k eleme esetén \varphi(k)=k teljesül. Ezt úgy is mondjuk, hogy a K test minden eleme fixpontja a \varphi leképezésnek.

Az ilyen tulajdonságú leképezéseket az L/K testbővítés relatív automorfizmusainak, vagy más néven szimmetriáinak nevezzük. Könnyen megmutatható, hogy ezek a szimmetriák az előző szakaszban bevezetett kompozíció műveletére nézve egy csoportot alkotnak. Ezt a csoportot \text{Gal}(L/K)-val jelöljük, és az L/K testbővítés Galois-csoportjának nevezzük. Amennyiben p egy K fölötti polinom, L pedig a p polinom felbontási teste, akkor a p polinom Galois-csoportján a \text{Gal}(L/K) csoportot értjük.

A Galois-elmélet főtétele

Ebben a szakaszban a Galois-elmélet főtételének lényegét ismertetjük vázlatosan, az utolsó szakaszokban pedig bemutatunk néhány fontos alkalmazást. A cikknek ez a része némileg absztraktabb a korábbiaknál, így talán kicsit nagyobb erőfeszítést követel meg az Olvasótól az itt leírtak megértése. A pontos részletek ismertetését továbbra is mellőzzük, mivel az jócskán meghaladná e cikk kereteit. Minazonáltal a téma iránt komolyabban érdeklődők számára továbbra is Kiss Emil „Bevezetés az algebrába” című könyvének 6. fejezetét ajánljuk, amely itt érhető el.

Kutatásai során Galois zseniális módon azt vette észre, hogy egy L/K testbővítés szerkezete szoros összefüggésben van a hozzárendelt \text{Gal}(L/K) Galois-csoport szerkezetével. De mit is értünk ezalatt? Előszöris tisztázzunk egy fontos fogalmat.

Az úgynevezett részcsoportok fogalmát ebben a cikkben már részletesen körbejártuk. Röviden arról van szó, hogy adva van egy G csoport, és ennek egy H részhalmaza. Amennyiben H maga is csoportot alkot a nála bővebb G csoport műveletére nézve, akkor azt mondjuk, hogy H részcsoportja G-nek. Ezt így jelöljük: H\leq G. Ez nagyon hasonlít a fentebb már bemutatott testbővítés fogalmához, csak ott éppenséggel a másik irányból közelítettük meg a dolgot. Nevezetesen: ahelyett, hogy K-t neveztük volna az L résztestének, L-re mondtuk azt, hogy ő a K test bővítése. Ez pusztán nézőpont kérdése, a háttérben azonban ugyanarról a koncepcióról van szó, mint a részcsoportok esetén.

Ezek után felvázoljuk a Galois-elmélet főtételét: Legyen adva egy L/K testbővítés, amelynek Galois-csoportját jelölje \text{Gal}(L/K). Most két ellenkező irányú hozzárendelést fogunk megadni az L/K bővítés közbülső testei, valamint a \text{Gal}(L/K) Galois-csoport részcsoportjai között:

1. Minden F közbülső testhez rendeljük hozzá azoknak az automorfizmusoknak a H\leq \text{Gal}(L/K) részcsoportját, amelyek az F test elemeit fixen hagyják, azaz amelyre H=\text{Gal}(L/F) teljesül.
2. Visszafelé: Minden H\leq \text{Gal}(L/K) részcsoporthoz rendeljük hozzá azt a közbülső testet, amely a H-beli automorfizmusok közös fixpontjaiból áll.

A Galois-elmélet főtétele azt állítja, hogy amennyiben az L/K testbővítés bizonyos – itt nem részletezett – feltételeknek megfelel, akkor ez a két hozzárendelés épp egymás megfordítása. Vagyis ilyenkor a \text{Gal}(L/K) részcsoportjai és az L/K testbővítés közbülső testei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fenn, amely egy úgynevezett rendezésfordító tulajdonsággal rendelkezik. Ezalatt azt értjük, hogy ha a K alaptestből kiindulva elkezdünk az egyre bővebb és bővebb közbülső testeken keresztül lépdelni egészen L-ig, akkor a nekik megfelelő részcsoportok egyre szűkebbek és szűkebbek lesznek.

Az egyik szélsőség a K alaptest. Ehhez a teljes \text{Gal}(L/K) Galois-csoport van hozzárendelve, hiszen ez épp azokat az automorfizmusokat tartalmazza, amelyek a K alaptestet fixen hagyják. Ezzel szemben a legbővebb L testnek az a részcsoport a párja, amely a \text{Gal}(L/K) Galois-csoportnak csak az egységelemét tartalmazza. Nyilván, hiszen ez épp az úgynevezett triviális automorfizmus, amely tehát L minden elemét fixen hagyja.

Galois ötlete azért volt forradalmi újítás, mivel segítségével a testelmélet bonyolult problémáit csoportelméleti problémákra lehet visszavezetni. Ez nagy segítség, hiszen a csoportelméletet mélyebben értjük, mint a testelméletet. Az utolsó szakaszokban három fontos alkalmazást említünk meg szintén nagyon vázlatosan.

Egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának feltételei

Az egyszerűség kedvéért most a \mathbb{Q} racionális számtest feletti polinomokra fogunk szorítkozni. Legyen p egy ilyen polinom, és kezdjük el bővíteni a \mathbb{Q} testet lépésenként ennek a polinomnak egy-egy gyökével. Így valahány lépés után eljutunk p felbontási testéhez, amely tehát a legszűkebb olyan test, amely p minden gyökét tartalmazza. Jelöljük ezt a felbontási testet L-lel. Ekkor az alábbi egyre növekvő méretű testekből álló testbővítési láncot kaptuk:

\mathbb{Q}\sub T_1\sub T_2\sub T_3\sub \ldots \sub L

A Galois-elmélet főtételéből következően ennek a láncnak az elemei párbaállíthatók a \text{Gal}(L/\mathbb{Q}) Galois-csoport bizonyos egyre csökkenő méretű részcsoportjaival (itt \epsilon jelöli a triviális automorfizmust, azaz a Galois-csoport egységelemét):

\text{Gal}(L/\mathbb{Q}) \supset H_1 \supset H_2 \supset H_3 \supset \ldots \supset \{\epsilon\}

Az, hogy a p polinom gyökei kifejezhetők-e gyökképlettel vagy nem attól függ, hogy ez a részcsoportlánc eleget tesz-e bizonyos itt nem részletezett feltételeknek vagy nem. E feltételek fennállása esetén azt mondjuk, hogy a \text{Gal}(L/\mathbb{Q}) Galois-csoport feloldható.

A Galois-csoport ugye az L felbontási testen fejti ki hatását, hiszen a benne lévő automorfizmusok mind az L elemeit permutálják. E permutált elemek között természetesen ott csücsülnek a vizsgált p polinom gyökei is. Az könnyen belátható, hogy egy-egy ilyen automorfizmus gyököt gyökbe mozgat, méghozzá a művelettartó tulajdonságai miatt. Vagyis egy n-edfokú polinom felbontási testének Galois-csoportja valójában az S_n szimmetrikus csoport, vagy annak egy részcsoportja.

A Galois-csoport annál „kisebb”, minél több rejtett összefüggés van a polinom gyökei között. Ha véletlenszerűen választunk egy polinomot, akkor annak gyökei között jó eséllyel nem lesz semmilyen összefüggés, ezért ilyenkor a Galois-csoport a teljes S_n szimmetrikus csoport lesz. Erről viszont igazolni lehet, hogy n\geq 5 esetén nem feloldható, amelyből a fentiek tükrében következik, hogy az ötöd- vagy magasabbfokú egyenletek többségére nem létezik megoldóképlet.

Geometriai szerkeszthetőség

Előszöris tisztázzuk, hogy pontosan mit értünk euklidészi szerkeszthetőség – vagy egyszerűen csak szerkeszthetőség – alatt. Nagyon egyszerűen arról van szó, hogy van egy vonalzónk, és egy körzőnk, és csak ezeket használhatjuk. A vonalzó segítségével két, már meglévő ponton keresztül egy egyenest húzhatunk, vagy pedig kijelölhetjük két, már meglévő egyenes metszéspontját. A körző segítségével pedig két, már meglévő pont közötti távolságnak megfelelő körívet tudunk rajzolni, illetve ennek egy egyenessel vagy egy másik körívvel való metszéspontját tudjuk kijelölni.

Hogy számszerűsíteni is tudjuk a megszerkesztett pontjainkat, kiindulásként vegyünk fel egy koordinátarendszert, és jelöljük be rajta az (1;0) koordinátájú pontot. Némi elemi koordinátageometriával viszonylag könnyű igazolni, hogy a körzőnk és a vonalzónk segítségével csak olyan pontokat tudunk szerkeszteni, amelyeknek koordinátái racionális számok, vagy ezekből négyzetgyökvonásokkal és a négy alapművelettel előállítható kifejezések.

Amikor a szerkesztési feladatot elkezdjük, akkor elképzelhető, hogy az origón és az (1;0) ponton kívül meg vannak adva további pontok is. Ezeket a szerkesztési feladat alapadatainak nevezzük, velük szemben fontos kikötés, hogy a fenti értelemben ők maguk szerkeszthetők legyenek. E megadott pontokból állítsuk elő azt a legszűkebb F_0 testet, amely ezek koordinátáit tartalmazza. Ezt az alapadatok által generált testnek nevezzük, amely tehát tulajdonképpen egy F_0/\mathbb{Q} testbővítés.

Ezután ahogy haladunk előre a szerkesztési lépésekkel, újabb és újabb pontokat állítunk elő. Ennek során elképzelhető, hogy ezek koordinátái már „nem férnek bele” az F_0 testbe, így újabb és újabb testbővítéseket kell végrehajtanunk. A testbővítéseknek van egy itt nem részletezett jellemzője, amely nagyon homályosan fogalmazva azt mondja meg, hogy mennyi „szabadságfokot” engedünk meg az adott bővítés számára. Ezt a jellemzőt a testbővítés fokának nevezzük. Sajnos ennél pontosabb definícióhoz némi lineáris algebrai gyorstalpalóra, azon belül is a vektortér és a dimenzió fogalmának bevezetésére lenne szükség. Ezt most nem tudjuk megtenni, azonban ezek ismeretében könnyen igazolható lenne, hogy a szerkesztési lépések során kapott bármely újabb testbővítés foka 2 az előzőhöz képest.

Ezt a megállapítást negatív állítások igazolására használhatjuk: ha egy szerkesztendő pont koordinátái nincsenek benne ezekben a bővítésekben, akkor biztosan nem végezhető el az adott szerkesztés. Így például ahhoz, hogy a körnégyszögesítés elvégezhető legyen az kéne, hogy például a (\pi; 0) koordinátájú pont is szerkeszthető legyen, azaz hogy \pi benne legyen \mathbb{Q} egy olyan testbővítésében, amely megfelel a fenti kritériumoknak. Ez azonban lehetetlen, hiszen Ferdinand von Lindemann 1882-ben igazolta, hogy a \pi egy úgynevezett transzcendens szám \mathbb{Q} fölött. Ez egyszerűen fogalmazva azt jelenti, hogy a \pi nincsen benne \mathbb{Q}-nak semmilyen véges fokú bővítésében.

A szögharmadolás szintén nem végezhető el euklidészi szerkesztéssel. Ehhez ugyanis egy \cos 20\degree hosszúságú szakaszt kéne szerkeszteni, ami ugyan nem transzcendens \mathbb{Q} fölött, viszont \mathbb{Q}-nak egy harmadfokú bővítésében van, tehát szintén nem felel meg a fenti kritériumnak.

Végezetül megemlítjük, hogy a Galois-elmélet módszerei alkalmasak arra is, hogy pontosan megértsük az úgynevezett véges testek szerkezetét. Ezek a \mathbb{Q} racionális számtesttel és bővítéseivel ellentétben olyan testek, amelyeknek csak véges sok elemük van, és rendkívül fontos felhasználásuk van a kódelmélet területén. Segítségükkel ugyanis úgynevezett hibajavító kódok konstruálhatók, amelyek például lehetővé teszik, hogy egy DVD lemezt akkor is el lehessen olvasni, ha esetleg megkarcolódott. A hibajavító kódolással kapcsolatban ebben a cikkben írtunk bővebben.

Ezeket a nagyszerű eredményeket mind Évariste Galois-nak, ennek a zseniális fiatalembernek köszönhetjük, aki évtizedekkel megelőzte korát, és akinek az élete oly értelmetlenül és fiatalon ért véget. Vajon hol tartana ma a matematika fejlődése, ha a megfelelő közegbe születik?