E definíció tehát kiterjeszti a 18.8. Tételben bevezetett jelölésmódot a csak pozitív kitevőkről tetszőleges egész kitevőre, beleértve a 0 és a negatív kitevőket is. Egy x elem 0 kitevős hatványának természetesen csak abban az esetben van értelme, ha a műveletre nézve létezik neutrális elem. Ehhez hasonlóan a negatív kitevős hatványoknak pedig csak akkor van értelme, ha x-nek a műveletre nézve létezik inverze. Ezen túlmenően a definíció a 18.8. Tételben szereplő értelmezéssel ellentétben tetszőleges algebrai struktúra tetszőleges asszociatív műveletére – tehát nem kizárólag egy gyűrű „szorzás” műveletére – vonatkoztatható.
A hatványkifejezések segítségével tehát tömören tudjuk kifejezni azt, hogy egy műveletet sokszor kell elvégezni. Gyakori a szakirodalomban, hogy amennyiben a műveletet a + szimbólum jelöli – ez tipikusan kommutatív műveletek esetén szokott így lenni –, akkor x^n helyett az nx írásmódot alkalmazzuk, és hatvány helyett többszörösről beszélünk. Ez azonban nem tévesztendő össze az oszthatóság kapcsán a 16.1. Definíció megismert „többszörös” fogalmával. Ott ugyanis egy R gyűrű esetén az ak kifejezés alatt az a gyűrűelem k gyűrűelemmel vett többszörösét értettük, ami tehát egy darab „szorzás” az R gyűrűben. Ezzel szemben a most megismert na jelölés azt jelenti, hogy az a elemet n-szer kell „összeadni” saját magával az R gyűrűben. Azaz:
na=\underbrace{a+a+a+\ldots +a}_{\text{n darab}}