A 24.6. Definícióban bevezettük a csoport rendjének fogalmát, amely az adott csoport elemeinek a számát adja meg. Ez a (\Z/m\Z)^{\times} multiplikatív csoport esetén a 20.7. Definíció alapján épp az Euler-féle \varphi-függvény értékével egyezik meg, azaz:

|(\Z/m\Z)^{\times}|=\varphi(m)

Ezután a 24.11. Definícióban definiáltuk a csoportelem rendjének a fogalmát, amely azt mondja meg egy csoportelemről, hogy hány különböző hatványa létezik az adott csoportban. Ez egy tetszőleges [a]_m\in (\Z/m\Z)^{\times} redukált maradékosztály esetén tehát az a legkisebb o([a]_m)-mel jelölt pozitív egész kitevő, amelyre fennáll az alábbi kongruencia:

a^{o([a]_m)} \equiv 1\pmod m

Az Euler-Fermat-tétel (20.19. Tétel) alapján azonban tudjuk, hogy az alábbi kongruencia minden [a]_m redukált maradékosztályra teljesül:

a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m

Az [a]_m maradékosztály rendje tehát \varphi(m)-nél biztosan nem lehet nagyobb, azaz:

o([a]_m)\leq \varphi(m)

Az iménti definícióból következik, hogy a modulo m primitív gyökök pontosan azok a redukált maradékosztályok lesznek, amelyeknél itt történetesen egyenlőség áll fenn. Nyilván, hiszen épp ez jelenti azt, hogy az adott maradékosztály különböző hatványaiként megkapjuk a (\Z/m\Z)^{\times} csoport összes – azaz mind a \varphi(m) darab – elemét, vagy más szavakkal az adott maradékosztály generálja a teljes (\Z/m\Z)^{\times} csoportot.

A definícióból és a 25.22. Tételből továbbá az is következik, hogy ha modulo m létezik primitív gyök, akkor a (\Z/m\Z)^{\times} multiplikatív csoport izomorf a (\Z/\varphi(m)\Z)^+ additív csoporttal, azaz:

(\Z/m\Z)^{\times} \simeq (\Z/\varphi(m)\Z)^+