Tekintsük azt az f csoporthomomorfizmust, amelynek N a magja. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen X csoportba képez, amelynek egységelemét jelöljük most e_X-szel, míg a G csoport egységelemét jelöljük e_G-vel. Az f függvény tehát N minden eleméhez e_X-et rendeli hozzá, hiszen \ker f=N. Ezt a szituációt mutatja az alábbi ábra.

Az 1. állítás igazolásához azt kell megmutatni, hogy N részcsoport G-ben. Ez a 24.5. Tétel alapján pontosan akkor teljesül, ha N tartalmazza e_G-t, valamint zárt a G csoport műveletére és a G-beli inverzképzésre.

Mivel f csoporthomomorfizmus, ezért a 25.2. Lemma értelmében tartja az egységelemet és az inverzképzést. Azaz egyrészt f(e_G)=e_X, és így e_G valóban benne van f magjában, vagyis N-ben. Másrészt ha valamilyen a benne van N-ben, akkor f(a)=e_X, és így az inverzképzés tartása miatt f(a^{-1})=(f(a))^{-1}=e_X^{-1}=e_X. Azaz a inverzének is e_X a képe, következésképp ő is benne van N-ben.

A G csoport műveletére való zártság szintén f művelettartó tulajdonságából ered. Ha ugyanis a és b az N két tetszőleges eleme, akkor egyrészt f(a)=e_X és f(b)=e_X. Másrészt viszont a művelettartás miatt az ő szorzatukra teljesül az alábbi:

f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)=\underbrace{e_X}_{=f(a)}\cdot \underbrace{e_X}_{=f(b)}=e_X

Tehát az a\cdot b szorzat is az X csoport egységelemére képeződik, következésképp ő is benne van N-ben. Mivel teljesül a 24.5. Tétel minden feltétele, ezért N valóban részcsoport G-ben.

A 2. állítás igazolásához tegyük fel tehát, hogy f(a)=f(b) valamilyen a\in G és b\in G elemek esetén. Vizsgáljuk meg, hogy mi lesz az a^{-1}b szorzat f szerinti képe X-ben. Ehhez kihasználjuk egyrészt f művelettartó és inverzképzéstartó (lásd a 25.2. Lemma 2. pontját) tulajdonságát, másrészt pedig azt a tényt, hogy jelen esetben ugye f(a)=f(b):

f(a^{-1}b)=f(a^{-1})\cdot f(b)=\underbrace{(f(a))^{-1}}_{=f(a^{-1})}\cdot \underbrace{f(a)}_{=f(b)}=e_X

Mivel tehát az a^{-1}b szorzat épp az X csoport egységelemére képződött, ezért ez a szorzat benne van f magjában, azaz a^{-1}b\in N. Ez viszont azt jelenti, hogy a és b között fennáll a 24.7. Tételben definiált \sim-vel jelölt ekvivalenciareláció, azaz a és b ugyanabban az ekvivalencia-osztályban vannak. Minthogy az említett tétel alapján ezek az ekvivalencia-osztályok tulajdonképpen az N szerinti baloldali mellékosztályok, ezért valóban b\in aN.

Visszafelé: Tegyük most fel, hogy a és b ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban vannak. Ez a 24.7. Tétel alapján azt jelenti, hogy a^{-1}b\in N. De mivel N az f csoporthomomorfizmus magja, ezért ez a szorzat az X csoport egységelemére képződik, azaz f(a^{-1}b)=e_X. Ebből viszont – ismét kihasználva f művelettartó és inverzképzéstartó tulajdonságát – az alábbi következik:

f(a^{-1}b)=f(a^{-1})\cdot f(b)=(f(a))^{-1}\cdot f(b)=e_X

Ha most az utolsó egyenlőségjel által leírt egyenlet mindkét oldalát balról megszorozzuk f(a)-val, akkor az alábbit kapjuk:

\underbrace{f(a)\cdot (f(a))^{-1}}_{=e_X}\cdot f(b)=f(a)\cdot e_X

Azaz – az egységelemeket elhagyva – valóban f(b)=f(a), és ezzel igazoltuk a tétel 2. állítását.

A 3. állítás ugyanígy igazolható, csak ebben az esetben az a^{-1}b szorzat helyett a ba^{-1} szorzatot kell tekinteni, és f(a)-val nem balról, hanem jobbról kell szorozni.

Végül a 4. állításhoz most tekintsünk egy tetszőleges a\in G elemet, és mutassuk meg, hogy az aN mellékosztály, mint halmaz megegyezik az Na mellékosztállyal. Ehhez a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján azt kell igazolni, hogy az alábbi mindkét tartalmazási reláció fennáll:

\begin{aligned}aN&\sube Na \\ Na&\sube aN\end{aligned}

Az első tartalmazáshoz azt kell megmutatni, hogy tetszőleges b\in aN esetén b\in Na is teljesül. Mivel b\in aN, ezért ez azt jelenti, hogy b ugyanabban a baloldali mellékosztályban van, mint a. Ez viszont a már bizonyított 2. állítás alapján azt jelenti, hogy f(a)=f(b), ami azonban a szintén már bizonyított 3. állítás miatt azt is jelenti, hogy b ugyanabban a jobboldali mellékosztályban van, mint a, azaz valóban b\in Na. A másik irányú tartalmazást ugyanilyen módon lehet megmutatni a 2. és 3. állítások felhasználásával.

Ezzel igazoltuk a tétel 4. állítását, miszerint az N szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok valóban megegyeznek.