Az 1. állítás: Itt tulajdonképpen két halmazrendszer (lásd a 19.5. Definíciót) elemei között kell kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíteni. Az első halmazrendszer tehát a G csoport azon részcsoportjaiból áll, amelyek tartalmazzák N-t, mint az f csoporthomomorfizmus magját. Ezt jelöljük \mathcal{G}-vel. A második halmazrendszer pedig H összes részcsoportjaiból áll. Ezt jelöljük \mathcal{H}-val.
A 25.12. Tételben már láttuk, hogy tetszőleges G-beli K részcsoport f szerinti képe részcsoport H-ban, azaz f(K)\leq H. A 25.11. Definíció alapján f(K) a legszűkebb olyan részcsoport H-ban, amely K minden elemének képét tartalmazza, és így a 19.8. Tétel értelmében f(K) egyértelműen meghatározott. Mindez természetesen speciálisan igaz az N-et tartalmazó G-beli részcsoportokra is. Az a leképezés tehát, amely tetszőleges K\in \mathcal{G} részcsoportból képzi az f(K)\in \mathcal{H} részcsoportot, tekinthető egy \mathcal{G}-ből \mathcal{H}-ba mutató függvénynek is.
Visszafelé: Mivel f most szürjektív csoporthomomorfizmus, ezért minden H-beli elem legalább egy G-beli elem képe, és így H tetszőleges L részcsoportjának létezik teljes inverz képe G-ben (vesd össze a 25.11. Definíció utáni megjegyzéssel). A 25.13. Tétel alapján ez a bizonyos f^{-1}(L)-lel jelölt teljes inverz kép részcsoport G-ben. Ezenkívül f^{-1}(L) a legbővebb olyan részcsoport, amelynek minden elemének képe L-ben van, és így egyrészt a 19.8. Tétel értelmében egyértelműen meghatározott. Másrészt pedig mivel L tartalmazza H egységelemét – hiszen részcsoport H-ban –, ezért f^{-1}(L) szükségképpen tartalmaz minden olyan G-beli elemet, amelyek erre az egységelemre képződnek. Ezek viszont épp az N homomorfizmus-magot alkotják, azaz f^{-1}(L) tartalmazza N-et, és így benne van a \mathcal{G} halmazrendszerben. Így tehát az előző gondolatmenethez hasonlóan a teljes inverz kép képzése tekinthető egy \mathcal{H}-ból \mathcal{G}-be mutató függvénynek.
Most már tehát van egy g:\mathcal{G}\to \mathcal{H}, valamint egy h:\mathcal{H}\to \mathcal{G} függvényünk a két halmazrendszer között. A kölcsönösen egyértelműséghez azt kell megmutatni, hogy e két függvény épp egymás megfordítása. Ez azt jelenti, hogy bármilyen sorrendben is alkalmazzuk őket egymás után, pontosan a kiinduló részcsoportot kell kapnunk eredményül. Azaz tetszőleges K\in \mathcal{G} és L\in \mathcal{H} esetén igazolnunk kell az alábbi hozzárendelések érvényességét:
\begin{aligned}K&\xmapsto{g} f(K)\xmapsto{h} f^{-1}(f(K))=K \\ L&\xmapsto{h} f^{-1}(L) \xmapsto{g} f(f^{-1}(L))=L\end{aligned}A második megfeleltetés nyilvánvalóan teljesül, hiszen a 25.11. Definíció utáni megjegyzés alapján tetszőleges L\in \mathcal{H} részcsoport teljes inverz képének képe maga L.
Ezzel szemben az első megfeleltetés igazolásánál egy picit nehezebb dolgunk van, ugyanis a 25.11. Definíció utáni megjegyzés szerint alapból nem mindig teljesül, hogy tetszőleges K\leq G részcsoport képének teljes inverz képe maga K. Most viszont tudjuk, hogy K\in \mathcal{G}, azaz ő nem akármilyen részcsoport, hanem olyan, amely tartalmazza az f csoporthomomorfizmus N-nel jelölt magját. Vezessük be az L=f(K) jelölést. Ezek után azt kell tehát megmutatni, hogy ebben a speciális esetben mégis fennáll a K=f^{-1}(L) halmazegyenlőség, ami a 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján azt jelenti, hogy e két halmaz kölcsönösen tartalmazza egymást.
A K\sube f^{-1}(L) tartalmazás a 25.11. Definíció utáni megjegyzésből következik, hiszen f(K)=L, amiből e megjegyzés alapján K\sube f^{-1}(L) következik.
Most nézzük az f^{-1}(L)\sube K tartalmazást. Legyen a az f^{-1}(L) tetszőleges eleme. Ekkor egyrészt a 25.11. Definíció alapján az a elem f szerinti képe benne van L-ben, azaz f(a)\in L. Másrészt L=f(K) miatt a 25.11. Definíció alapján minden L-beli elem legalább egy K-beli elemnek a képe. Ez speciálisan igaz az f(a)\in L elemre is, azaz léteznie kell K-ban egy olyan k elemnek, amelyre f(k)=f(a) teljesül.
Ez viszont a 25.5. Tétel 2. pontja alapján azt jelenti, hogy a ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban van, mint k, azaz a\in kN. Ezek szerint létezik olyan n\in N, hogy a=k\cdot n. Most viszont tudjuk, hogy N\sube K, így ez a bizonyos n benne van egyúttal a K részcsoportban is, következésképp az a=k\cdot n szorzat is benne van K-ban, hiszen ő zárt a szorzásra nézve. Vagyis valóban teljesül az f^{-1}(L)\sube K tartalmazás, és így az f^{-1}(L)=K halmazegyenlőség is.
A 2. állítás: Az 1. állításhoz hasonlóan itt is két halmazrendszer elemei között kell kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíteni. Az első halmazrendszer tehát a K\leq G részcsoport szerinti baloldali mellékosztályokból áll. Ezt jelöljük \mathcal{K}-val. A második halmazrendszer pedig az L\leq H részcsoport szerinti baloldali mellékosztályokból áll. Ezt jelöljük \mathcal{L}-lel. Mutatnunk kell egy \mathcal{K} és \mathcal{L} közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést. Ehhez azt a 24.7. Tételben szereplő ekvivalenciarelációt fogjuk használni, amely a baloldali mellékosztályokat kijelöli a G és a H csoportokban.
Legyen ezért a és b két tetszőleges elem G-ben. Ez a két elem a 24.7. Tétel szerint akkor és csak akkor van ugyanabban a K részcsoport szerinti mellékosztályban, ha az a^{-1}b szorzat benne van magában a K részcsoportban. Minthogy a K részcsoport az L részcsoport teljes inverz képe, ezért az a^{-1}b szorzat akkor és csak akkor van benne K-ban, ha f(a^{-1}b) benne van L-ben. Az f csoporthomomorfizmus művelet- és inverzképzéstartó tulajdonságai miatt az f(a^{-1}b)\in L állítás ekvivalens az (f(a))^{-1}f(b)\in L állítással. Ez viszont szintén a 24.7. Tétel alapján akkor és csak akkor teljesül, ha f(a) ugyanabban az L részcsoport szerinti baloldali mellékosztályban van, mint f(b).
Egyrészt tehát azt kaptuk, hogy egy adott K szerinti baloldali mellékosztály összes elemének ugyanabban az L szerinti baloldali mellékosztályban lesz az f szerinti képe. Az f csoporthomomorfizmus tehát ilymódon minden \mathcal{K}-beli baloldali mellékosztályhoz egyértelműen kijelöl egy \mathcal{L}-beli baloldali mellékosztályt. Ez tekinthető egy k:\mathcal{K} \to \mathcal{L} függvénynek is. Ha például g\in G egy tetszőleges elem, akkor ez a függvény a gK baloldali mellékosztályhoz az f(gK) halmazt rendeli hozzá, amely tehát épp az f(g)L baloldali mellékosztály lesz, azaz k(gK)=f(g)L.
Továbbá a k függvényről elmondható, hogy injektív, hiszen azt is megkaptuk, hogy különböző K szerinti baloldali mellékosztályba eső elemek f szerinti képei különböző L szerinti baloldali mellékosztályokban lesznek. Ha tehát valamilyen a és b elemek esetén k(aK)=k(bK), akkor ebből aK=bK következik. Ez egyben azt is jelenti, hogy a K szerinti mellékosztályok a hozzájuk tartozó L szerinti mellékosztályoknak valóban a teljes inverz képei.
Végül a k függvény szürjektív is. Ugyanis a tétel szövege alapján az f csoporthomomorfizmus is az, és így bármely h\in H elemhez van olyan g\in G, amelyre f(g)=h teljesül. Így viszont a hL=f(g)L baloldali mellékosztályt épp a gK baloldali mellékosztályhoz rendeli hozzá a k függvény. Vagyis valóban minden L szerinti mellékosztály párja valamelyik K szerinti mellékosztálynak, és így k egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.
A 3. állítás: Ugyanígy igazolható, csak ekkor a 24.7. Tételben szereplő másik ekvivalenciarelációt kell használni, amely a jobboldali mellékosztályokat jelöli ki.
A 4. állítás: Tegyük fel, hogy K normálosztó G-ben. Ez a 25.6. Definíció alapján azt jelenti, hogy a K szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, azaz tetszőleges g\in G esetén gK=Kg. Ám ekkor a 2. és 3. állítás bizonyításában szereplő k megfeleltetés őhozzájuk az f(g)L=Lf(g) mellékosztályokat rendeli, amelyek szintén megegyeznek. A k függvény szürjektivitása miatt ilymódon minden L szerinti baloldali mellékosztályról megkaptuk, hogy megegyezik a megfelelő jobboldali mellékosztállyal, azaz L is normálosztó H-ban.
Most tegyük fel, hogy K nem normálosztó G-ben. Azaz létezik olyan g\in G, hogy gK\neq Kg. Ekkor viszont f(g)L\neq Lf(g) is igaz, máskülönben az ő teljes inverz képük, azaz gK és Kg mégiscsak megegyezne. Így tehát L sem normálosztó H-ban.
Végül tegyük fel, hogy K és L normálosztók, és tekintsük a G/K és a H/L faktorcsoportokat. Ezek elemei rendere a K és az L szerinti bal- illetve a velük megegyező jobboldali mellékosztályok. A 2. és 3. állítás bizonyításában szereplő, közöttük lévő k megfeleltetésről már láttuk, hogy kölcsönösen egyértelmű, ezért már csak azt kell megmutatni, hogy művelettartó is. Legyen tehát aK és bK két tetszőleges baloldali mellékosztály a G/K faktorcsoportban. Azt kell megmutatni, hogy az ő k szerinti megfelelőik szorzata a H/L faktorcsoportban ugyanaz, mint a G/K faktorcsoportban vett szorzatuk k szerinti megfelelője.
Az egyértelműség érdekében az alábbiakban a különböző csoportok műveleteit különböző szimbólumokkal jelöltük. Így \odot jelöli a G/K faktorcsoport, \boxdot a H/L faktorcsoport, \cdot a G csoport, végül \bullet a H csoport szorzását:
\begin{aligned}k(aK) \boxdot k(bK)&=f(a)L \boxdot f(b)L=(f(a)\bullet f(b))L \\ k(aK \odot bK)&=k((a\cdot b)K)=f(a\cdot b)L=(f(a)\bullet f(b))L\end{aligned}Mindkét esetben azonos végeredményt kaptunk, tehát a k leképezés művelettartó, és így valóban egy izomorfizmus a G/K és H/L faktorcsoportok között.