Tegyük fel először, hogy n és k mindketten pozitívak.

Ekkor az 1., 2., és 3. tulajdonságok igazolása szinte szóról szóra megegyezik a 18.8. Tétel bizonyításának gondolatmenetével. Mindössze két különbség van. Egyrészt most a tétel szövegéből tudjuk, hogy a \cdot művelet asszociatív, emiatt nem kell hivatkoznunk a 14.12. Definíció szerinti 4. gyűrűaxiómára – amit amúgy nem is tudnánk megtenni, hiszen most nem gyűrűről van szó. Másrészt pedig az 1. tulajdonság esetén ugyancsak a tétel szövegéből tudjuk, hogy ab=ba, így nem kell hivatkoznunk a művelet kommutativitására sem.

A 4. tulajdonsághoz az inverz elem 14.9. Definíciója alapján az alábbi két dolgot kell igazolni (itt e-vel jelöltük a \cdot művelet neutrális elemét):

\begin{aligned}a^{-n}\cdot a^n&=e \\ a^n\cdot a^{-n}&=e\end{aligned}

Egyrészt a 24.9. Definíció alapján a^{-n}=(a^{-1})^n, továbbá a és a^{-1} felcserélhetők, hiszen a 14.9. Definíció szerint a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e. Másrészt, mivel az 1. tulajdonságot már bizonyítottuk pozitív n esetén, ezért ezt most felhasználhatjuk. Ez alapján egyrészt:

a^{-n}\cdot a^n=(a^{-1})^n\cdot a^n =(a^{-1}\cdot a)^n=e^n=e

Másrészt:

a^n\cdot a^{-n}=a^n\cdot (a^{-1})^n =(a\cdot a^{-1})^n=e^n=e

Így tehát pozitív n esetén a^n és a^{-n} valóban egymás inverzei.

Most tegyük fel, hogy a két kitevő közül legalább az egyik 0. Ekkor a 24.9. Definícióból azonnal adódik mind a 4 tulajdonság. Ha például n=0:

1. (a\cdot b)^0=e^0=e=e\cdot e=a^0\cdot b^0, méghozzá függetlenül attól, hogy a és b felcserélhető-e vagy nem.
2. (a^0)^k=e^k=e=a^0=a^{0\cdot k}. Itt az e^k=e lépésnél kihasználtuk, hogy a neutrális elem önmaga inverze, így ez valóban teljesül függetlenül attól, hogy k pozitív, negatív vagy esetleg 0.
3. a^0\cdot a^k=e\cdot a^k=a^k=a^{0+k}
4. Egyrészt mivel a 0 ellentettje önmaga, azaz 0=-0, ezért a^{-0}=a^0=e. Másrészt mivel a neutrális elem önmaga inverze, ezért (a^0)^{-1}=e^{-1}=e. Vagyis valóban a^{-0}=(a^0)^{-1}.

Ha pedig k=0, akkor a 2. és 3. tulajdonságok nyilván teljesülnek, hiszen egyrészt (a^n)^0=e=a^0=a^{n\cdot 0}, másrészt a^n\cdot a^0=a^n\cdot e=a^n=a^{n+0}. Az 1. és 4. tulajdonságokkal ebben az esetben nem kell foglalkoznunk, mivel azokban nem szerepel a k kitevő.

Már csak azok az esetek maradtak, amikor a két kitevő közül legalább az egyik negatív. Legyen például n negatív. Az átláthatóság érdekében vezessük be az m=-n jelölést. Ekkor m pozitív, és ezt a továbbiakban kihasználjuk.

Most igazoljuk az 1. tulajdonságot negatív n-re. A bevezetett jelölésünket alkalmazhatjuk: (ab)^n=(ab)^{-m}. Mivel ugye m pozitív, ezért felhasználhatjuk a 4. tulajdonságot, hiszen azt pozitív kitevőkre már igazoltuk. Ez alapján tehát:

(ab)^{-m}=((ab)^m)^{-1}=\ldots

A külső zárójelen belüli kifejezésre ugyancsak m pozitivitása miatt alkalmazható az 1. tulajdonság, hiszen azt szintén igazoltuk pozitív kitevőkre:

\ldots=(a^mb^m)^{-1}=\ldots

Mivel a tétel szövege alapján most azt feltételezzük, hogy a és b felcserélhetők, ezért ebből következik, hogy a zárójelen belüli a^m és b^m szintén felcserélhetők. Ezek szorzata ugyanis az alábbi 2m tényezős szorzat:

\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{\text{m darab}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{\text{m darab}}

Itt egymás mellett álló a és b tényezők cserélgetésével nyilván elérhető, hogy minden b tényező a baloldalra kerüljön. Mivel tehát a^m és b^m felcserélhetők, ezért a 24.2. Tétel alapján az (a^mb^m)^{-1} kifejezés tovább alakítható:

\ldots=(a^m)^{-1}\cdot (b^m)^{-1}=\ldots

Most viszont ismét lehet alkalmazni a 4. tulajdonságot, hiszen m pozitív:

\ldots=a^{-m}\cdot b^{-m}

Összefoglalva azt kaptuk tehát, hogy (ab)^{-m}=a^{-m}b^{-m}. Visszafelé alkalmazva az m=-n jelölést, ez végülis az 1. tulajdonságnak felel meg.

Most a 4. tulajdonságot igazoljuk negatív n esetén. Maradjunk továbbra is az m=-n jelölésnél. Mivel m pozitív, és a 4. tulajdonságot pozitív kitevőkre már igazoltuk, ezért igaz az alábbi:

a^{-m}=(a^m)^{-1}

Visszafelé alkalmazva az m=-n jelölést ez tehát azt jelenti, hogy, hogy a^n és a^{-n} negatív n esetén is egymás inverzei. Tehát a 4. tulajdonság szerinti a^{-n}=(a^n)^{-1} összefüggés valóban teljesül negatív n esetén is.

Most igazoljuk a 2. tulajdonságot negatív n-re és pozitív k-ra. Maradjunk továbbra is az m=-n jelölésnél, azaz (a^n)^k=(a^{-m})^k. Ekkor mivel m pozitív, ezért a 24.9. Definíció alapján:

(a^{-m})^k=((a^{-1})^{m})^k=\ldots

Ha most k pozitív, akkor alkalmazhatjuk a pozitív kitevőkre már bizonyított 2. tulajdonságot. Eszerint tehát:

\ldots=(a^{-1})^{mk}=\ldots

Mivel pedig m is és k is pozitív, ezért mk is az, vagyis ismét a 24.9. Definíció alapján:

\ldots=a^{-mk}

Visszafelé alkalmazva az m=-n jelölést, ez végülis a 2. tulajdonságnak felel meg.

Most igazoljuk a 2. tulajdonságot negatív n-re és szintén negatív k-ra. Maradjunk továbbra is az m=-n jelölésnél, de emellé vezessük be az l=-k jelölést is, azaz (a^n)^k=(a^{-m})^{-l}. Ekkor mivel m pozitív, ezért a 24.9. Definíció alapján:

(a^{-m})^{-l}=((a^{-1})^{m})^{-l}=\ldots

Alkalmazhatjuk a már igazolt 4. tulajdonságot:

\ldots=(((a^{-1})^{m})^l)^{-1}=\ldots

Mivel m is és l is pozitív, ezért alkalmazhatjuk a pozitív kitevőkre már igazolt 2. tulajdonságot:

\ldots=((a^{-1})^{ml})^{-1}=\ldots

Itt ugye ml pozitív, ezért ismét a 24.9. Definíció alapján:

\ldots=(a^{-ml})^{-1}=\ldots

Végül ismét a már igazolt 4. tulajdonság miatt:

\ldots=((a^{ml})^{-1})^{-1}=a^{ml}

Visszafelé alkalmazva az m=-n és az l=-k jelöléseket, ez végülis a 2. tulajdonságnak felel meg.

Végül igazolni kell a 2. tulajdonságot pozitív n-re és negatív k-ra. Ismét vezessük be az l=-k jelölést, azaz (a^n)^k=(a^n)^{-l}. Ekkor a már igazolt 4. tulajdonság miatt:

(a^n)^{-l}=((a^n)^l)^{-1}=\ldots

Mivel n és l pozitívak, és a 2. tulajdonságot már igazoltuk pozitív kitevőkre, ezért az ebben az esetben alkalmazható:

\ldots=(a^{nl})^{-1}=\ldots

Ez viszont újból a 4. tulajdonság miatt az alábbival egyezik meg:

\ldots=a^{-nl}

Visszafelé alkalmazva az l=-k jelölést, ez végülis a 2. tulajdonságnak felel meg.

Már csak a 3. tulajdonságot kell bizonyítani azokban az esetekben, amikor n és k közül legalább az egyik negatív. Mivel itt n és k szerepe teljesen szimmetrikus, ezért csak azt az esetet fogjuk igazolni, amikor n negatív, k pedig bármi más. Fordított esetben – tehát amikor k negatív, n pedig bármi más – ugyanezt a gondolatmenetet kellene végigjátszani k és n szerepének felcserélésével. A k=0 esettől most nyugodtan eltekinthetünk, hiszen azt már igazoltuk.

Vezessük be a jól megszokott m=-n jelölést, azaz a^na^k=a^{-m}a^k. Ekkor ugye m pozitív lesz, tehát a 24.9. Definíció szerint az alábbi szorzatot kaptuk:

a^{-m}\cdot a^k=(a^{-1})^ma^k=\underbrace{a^{-1}a^{-1}\ldots a^{-1}}_{\text{m darab}}\cdot a^k

Ha k negatív, akkor vezessük be ismét az l=-k jelölést is. Ekkor a fenti szorzatban további l darab, tehát összesen m+l darab a^{-1} tényező fog szerepelni. Mivel m+l pozitív, ezért:

a^{-m}a^{-l}=(a^{-1})^{m+l}=a^{-(m+l)}

Visszafelé alkalmazva az m=-n és az l=-k jelöléseket, a kitevőben végülis valóban n+k szerepel, ahogyan a 3. tulajdonság állítja.

Ha k pozitív, akkor a fenti szorzatban m darab a^{-1} tényező és k darab a tényező szerepel, azaz:

a^{-m}\cdot a^k=\underbrace{a^{-1}a^{-1}\ldots a^{-1}}_{\text{m darab}}\cdot \underbrace{aa\ldots a}_{\text{k darab}}

Az egymás mellett álló a és a^{-1} tényezők ugye szép sorban kiütik egymást, mivel egymás inverzei. Kérdés tehát, hogy melyikből van több. Ha m\leq k, akkor legalább annyi a tényező van, mint a^{-1} tényező, így ebben az esetben az a tényezőkből fog megmaradni k-m darab. Azaz ebben az esetben:

a^{-m}\cdot a^k=a^{k-m}

Visszafelé alkalmazva az m=-n jelölést, a kitevőben végülis valóban n+k szerepel, ahogyan a 3. tulajdonság állítja.

Ha viszont m\gt k, akkor több a^{-1} tényező van, mint a, ezért ebben az esetben az a^{-1} tényezőkből fog megmaradni m-k darab. Azaz:

a^{-m}\cdot a^k=(a^{-1})^{m-k}=\ldots

Az m-k kitevő m\gt k miatt biztosan pozitív, ezért a 24.9. Definíció alapján ezt kapjuk:

\ldots=a^{-(m-k)}=a^{k-m}

Visszafelé alkalmazva az m=-n jelölést, a kitevőben ebben az esetben is n+k szerepel, ahogyan a 3. tulajdonság állítja.