Az általánosság megsértése nélkül feltételezhetjük, hogy R nem a 14.12. Definíció szerinti nullgyűrű. Ha ugyanis az lenne, akkor az egyetlen elem a 0 lenne, így nyilván teljesülne a tétel állítása bármiféle feltétel nélkül is.

Ha R nem a nullgyűrű, akkor legalább két eleme van, amelyek közül az egyik nyilván nem a nullelem. Mivel azt mondtuk, hogy bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója, így ennek a kettőnek is, emiatt a 17.5. Tétel 3. pontja alapján R egységelemes.

A tétel szövegének megfelelően tegyük fel, hogy teljesül az a|bc oszthatóság, valamint a és b relatív prímek, azaz a 17.10. Definíció utáni megjegyzés miatt (a,b)\sim 1.

Mivel R egységelemes, ezért a 16.2. Tétel 1. pontja miatt teljesül az a|a oszthatóság, és így ugyanezen tétel 7. pontja miatt az a|ac oszthatóság, továbbá a tétel szövegéből tudjuk, hogy teljesül a|bc is. Az a elem tehát közös osztója ac-nek és bc-nek, így osztója ezek kitüntetett közös osztójának. Azaz:

a|(ac,bc)

A 17.9. Tétel miatt azonban teljesül az (ac,bc)\sim (a,b)c asszociáció, így:

a|(a,b)c

Végül, mivel (a,b)\sim 1 – tehát (a,b) egység –, ezért teljesül az (a,b)c\sim c asszociáció is, azaz valóban a|c, ahogy a tétel állítja.