Előszöris, mivel R euklidészi gyűrű, így a 17.16. Definíció alapján létezik egységelem.

Ha b egység, akkor a 16.5. Tétel tétel értelmében osztója az egységelemnek. Létezik tehát olyan c elem, amelyre bc=1 teljesül. Mivel c\neq 0_R (máskülönben a bc szorzat a nullelem lenne), ezért a g norma egyenlőtlenségi tulajdonsága miatt g(ab)\leq g(a\underbrace{bc}_{=1})=g(a). Ugyanakkor szintén az egyenlőtlenségi tulajdonság miatt g(a)\leq g(ab). Mindkét irányban fennáll tehát a \leq reláció, így az antiszimmetria miatt szükségképpen g(a)=g(ab).

Azt tehát már tudjuk, hogy ha b egység, akkor valóban teljesül az egyenlőség. Azt kell még megmutatni, hogy más esetben viszont nem teljesül. Ezért most indirekt tegyük fel, hogy b nem egység, ám ennek ellenére teljesül g(a)=g(ab).

Mivel a-ról és b-ről tudjuk, hogy egyik sem a nullelem, ezért a nullosztómentesség miatt az ab szorzat sem lehet az. Emiatt az a elem elosztható maradékosan az ab elemmel a g norma szerint. Azaz létezik olyan k hányados és r maradék, hogy teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}a&=kab + r \\ g(r)&\lt g(ab)\end{aligned}

Az egyenlet mindkét oldalából kab-t levonva ezt kapjuk:

a-kab=r

A baloldalt a disztributivitási szabályok miatt (14.12. Definíció 5. pont) így írhatjuk át:

a\cdot (1-kb)=r

Mivel b-ről indirekt azt mondtuk, hogy nem egység, ezért a 16.5. Tétel miatt nem lehet osztója az egységelemnek. Emiatt kb\neq 1, és így 1-kb biztosan nem a nullelem. A tétel szövegéből tudjuk ugyanakkor, hogy a sem a nullelem, azaz a nullosztómentesség miatt r az a-nak egy nemnulla többszöröse (egész konkrétan 1-kb-szerese), és így a g norma egyenlőtlenségi tulajdonsága miatt teljesül a következő egyenlőtlenség:

g(a)\leq g(\underbrace{a\cdot (1-kb)}_{=r})

Azt kaptuk tehát, hogy g(a)\leq g(r). Ugyanakkor indirekt feltételeztük, hogy g(a)=g(ab), így a fentebbi maradékos osztásból kapott g(r)\lt g(ab) szigorú egyenlőtlenségből g(r)\lt g(a) következik.

Ez ellentmondás, hiszen g(r) nem lehet egyszerre legalább akkora, mint g(a), és határozottan kisebb is nála. Az indirekt feltételezésünk hibás volt, azaz a g(a)=g(ab) egyenlőség nem állhat fenn, amennyiben b nem egység.