Előszöris vizsgáljuk meg az (a) főideál szerkezetét. A 19.11. Definíció alapján az (a) főideál az a legszűkebb ideál, amely tartalmazza az a elemet. Mivel a\in (a), ezért a 18.18. Definíció szerint tetszőleges r\in R elem esetén szükségképpen ra\in (a) is teljesül. Azaz az (a) ideál biztosan tartalmazza az a elemen kívül annak összes többszörösét is. Egyéb elemet viszont nem tartalmaz, hiszen úgy már nem ő lenne az a elemet tartalmazó legszűkebb ideál. Ugyanezen okok miatt a (b) főideál a b elemet és annak többszöröseit tartalmazza, és ezeken kívül nincs más eleme. Ezek után már igazolhatjuk a tétel állításait.
Az 1. állítás: Egyrészt azt kell bizonyítani, hogy ha teljesül az a|b oszthatóság, akkor bármilyen c\in (b) esetén c\in (a) is teljesül. A c\in (b) a fentiek alapján azt jelenti, hogy c vagy megegyezik b-vel, vagy pedig annak többszöröse. Egységelemes gyűrűben mindkét feltétel azt jelenti, hogy teljesül a b|c oszthatóság. De mivel azt mondtuk, hogy teljesül az a|b oszthatóság, ezért az oszthatóság tranzitivitása miatt (16.2. Tétel 5. pont) teljesül az a|c oszthatóság is. Ez viszont azt jelenti, hogy c egyike az a elem többszöröseinek is, azaz c\in (a). Mivel megmutattuk, hogy a (b) főideál bármely eleme egyúttal eleme az (a) főideálnak is, így a 19.2. Definíció alapján valóban (b)\sube (a).
Másrészt azt is bizonyítani kell, hogy ha (b)\sube (a), akkor teljesül az a|b oszthatóság. A (b)\sube (a) tartalmazási reláció a 19.2. Definíció alapján azt jelenti, hogy a (b) főideál bármely eleme egyúttal eleme az (a) főideálnak is. Ez természetesen magára b-re is igaz, azaz b\in (a). Így tehát b vagy megegyezik a-val, vagy pedig egyike az a elem többszöröseinek. Egységelemes gyűrűben mindkét feltétel azt jelenti, hogy teljesül az a|b oszthatóság.
A 2. állítás könnyen adódik az 1. állításból. A 19.2. Definíció utáni megjegyzés 5. pontja alapján ugyanis az (a)=(b) halmazegyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha (a) és (b) kölcsönösen egymás részhalmazai. Ez az 1. állítás miatt azzal ekvivalens, hogy egyszerre teljesülnek az a|b, valamint a b|a oszthatóságok. A 16.9. Tétel miatt azonban a kölcsönös oszthatóság kommutatív és egységelemes gyűrűkben akkor és csak akkor teljesül, ha a és b egymásnak asszociáltjai.